Глобально ученики разделяются на 2 типа:
1. Кто сразу не понял геометрию, ещё до 7-го класса, когда находили площади квадратов, объёмы кубов и складывали длины отрезков, находили периметры;
2. Кто перестал понимать, когда в начале 7-го класса начали изучать признаки равенства треугольников, соответсвенно 1-й тип учеников тут совсем отчаивается и думает, что геометрия - это предмет не для него и осилить его не получится.
Так вот что обычно говорят ученики, зачем доказывать их равенство, если и так видно что они равны?!
Да ещё и само доказательство первого признака по двум сторонам и углу между ними основывается на наложении треугольников друг на друга - оно явно может взорвать мозг.
Давайте начнём всё таки с определения, что же такое равные треугольники?
- На этот вопрос отлично отвечают дети в садике и в первых классах: если дать несколько вырезанных из картона треугольников, то найти равные не составит труда, нужно наложить их друг на друга - и если они совпали, то равны, не совпали, то не равны, вполне просто и логично))
А вот в тетрадке по геометрии, когда мы их нарисуем "на глаз" не по точным размерам, то вырезать и накладывать их друг на друга уже не получится (конечно, если очень захотеть, то можно, но очень затратно по силам и времени, рисовать треугольник, вырезать, накладывать....а если он со сторонам 3 метра и 4 метра, то уже я думаю школьник с такой задачей не справится, не найдётся дома такого огромного листа 🤔)
Так как же тогда находить равные треугольники и зачем?
Как раз находить будем их по признакам равенства треугольников:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Давайте остановимся на первом, для остальных рассуждения будут аналогичные.
Т.е. нам необходимо найти для начала 2 треугольника, они могут быть рядом друг с другом, накладываться друг на друга, либо касаться:
После это ищем в них 2 равные стороны и угол между ними в одном и другом треугольнике (т.е. в одном треугольнике есть одна сторона равная другой в другом треугольнике, потом есть ещё одна сторона в одном из треугольников, равная другой стороне в другом треугольнике и угол между ними в каждом из треугольников одинаковый), посмотрим в качестве примера такую задачу:
"Даны треугольники АВС и ADC имеющие общую сторону АС и расположенные по разные стороны от АС, сторона ВС=СD, угол 1 равен углу 2. Доказать, что треугольники равны".
После того как сделали чертёж, написали дано и что нужно доказать, приступим к самому доказательству:
Что же мы видим в данных треугольниках?
ВС=СD (дано по условию); угол 1 = углу 2 (тоже по условию) и можно заметить, что сторона АС общая, т.е. эта сторона одинаковая в каждом из треугольников (общая сторона обычно на чертеже обозначается ~).
Собственно из этого и следует равенство треугольников. Ч.т.д. (что требовалось доказать).
В целом здорово, что мы доказали равенство этих треугольников, но зачем?
Будут появляться задачи, которые требуют доказательства каких отрезков или углов, так вот один из способов это сделать, доказать равенство треугольников в которых есть эти отрезки или углы.
Давайте немного изменим условие нашей задачи:
"Даны треугольники АВС и ADC имеющие общую сторону АС и расположенные по разные стороны от АС, сторона ВС=СD, угол 1 равен углу 2. Доказать, АB=AD".
Получается, что в задаче не просят доказывать равенство треугольников, а просят доказать равенство сторон, так вот, мы же с вами уже доказали равенство треугольников, т.е. при наложении они совпадают и конечно же, стороны АB и AD тоже совпадут друг с другом, т.е. они равны. Ч.т.д.
Чтобы научиться решать такие задачи можете посмотреть данный плейлист:
https://vk.com/video/playlist/-31475380_92