Освежаю в памяти знания по математике, ведь эта дисциплина является одной из свай в фундаменте программирования. Начнём с базы.
Цифры и числа
Цифра и число - два различных понятия в математике, которые часто используются вместе:
- Цифра - один символ, который используется для записи числа. В десятичной системе счисления таких символов десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Они комбинируются друг с другом и формируют числа.
- Число - математический объект, который представляет собой величину или количество. Состоит из цифр. Например, в числе 345 используется три цифры: 3, 4 и 5. Чисел бесконечно много.
Место, в котором записывается цифра в числе называется разрядом (единицы, десятки, сотни и т.д.), а разряды по три объединяются в классы (класс единиц, тысяч, миллионов и т.д.).
Все действия в математике и программировании обычно происходят именно с числами.
Классификация чисел
Числа можно разделить на 5 категорий: натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные.
- Натуральные числа - положительные целые числа, которые начинаются с единицы. Они используются для счёта и представляются множеством N = {1, 2, 3, ... }. Натуральные числа не могут быть отрицательными и не имеют дробной части.
- Целые числа - включают в себя все натуральные числа, их противоположности и ноль. Эта категория обозначается как Z, где Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Целые числа могут быть положительными, отрицательными и 0.
- Рациональные числа - представляют собой числа, которые могут быть выражены в виде обыкновенной дроби a/b, где a и b - целые числа, и b ≠ 0. Набор рациональных числе обозначается множеством Q. Рациональные числа могут быть положительными или отрицательными и представлять собой конечные или повторяющиеся десятичные дроби, а также целые числа.
- Иррациональные числа - не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби a/b. Сюда относятся бесконечные и непериодичные десятичные дроби, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Множество иррациональных чисел обозначают буквой I.
- Действительные числа - включают в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Обозначаются как R и представляют собой полный набор чисел, которые можно найти на числовой линии.
Также в математике существуют комплексные, алгебраические и трансцендентные числа, но о них я напишу как-нибудь потом.
Базовые математические операции
Основные математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, остаток от деления, возведение в степень и модуль числа.
- Сложение - операция, с помощью которой два или более числа объединяются для получения их суммы. Сложение записывается как a + b = c, где a и b являются слагаемыми, а c - их суммой. Например, 5 + 2 = 7.
- Вычитание - операция, с помощью которой из одного числа вычитается другое, чтобы получить разность. Вычитание записывается как a - b = c, где a - уменьшаемое, b - вычитаемое, а c - разность. Например, 5 - 2 = 3.
- Умножение - определяет, сколько раз одно число содержится в другом. Записывается как a × b = c, где a и b являются множителями, а c - их произведением. Например, 5 × 2 = 10.
- Деление - определяет, как одно число делится на другое. В записи a ÷ b = c, a является делимым, b - делителем, а c - их частным. Например, 6 ÷ 2 = 3.
- Остаток от деления - число, которое остаётся после деления одного числа на другое, когда оно не делится на него нацело. Записывается как a mod b = c, где a и b - числа, а с является остатком от их деления. Например, 5 ÷ 2 = 1, а 6 ÷ 2 = 0.
- Возведение в степень - определяет, сколько раз число умножается само на себя. К сожалению, формат Дзена не позволяет мне показать запись в привычном всем виде, поэтому отображу её так: a ^ b = c, где а - основание, а b - степень. Например, 5 ^ 2 = 25.
- Модуль числа - его абсолютная величина, которая показывает расстояние числа от нуля на числовой прямой, независимо от направления. Если a - число, его модуль записывается так: |a|. Например, |-5| = 5, |2| = 2.
Все операции в математических выражениях выполняются слева направо в следующем порядке: возведение в степень и модуль, умножение и деление, сложение и вычитание. При этом скобки меняют приоритет операций - действия в них выполняются в первую очередь.
Надеюсь, что мои объяснения и классификация были полезными. В следующих публикациях продолжу структурировать свои знания. Например, про числа и связанные с ними типы данных в программировании. Если есть дополнительные вопросы, задавайте!