Диаграммы Эйлера-Венна одна из традиционных тем на математических кружках. Ребята уже с 3 класса (а иногда и раньше) могут успешно применять подобных схемы для решения арифметических задач. С возрастом область применения таких диаграмм расширяется, и взаимодействие с ними становится обязательным навыком для олимпиадников. Более широко, эта тема — это начало бесконечно долгого разговора о множествах, который может завести увлечённых математикой в такие дебри ... десятки парадоксов, аксиома выбора, бесконечные множества, ординалы и кардиналы, разнообразные логики и многое другое.
Но, к сожалению, часто опыт использования диаграмм Эйлера-Венна ограничивается заучиванием двух-трёх приёмов для решения арифметических задач и не содержит понимания самого ценного — идеи множества и отношений между ними. На проработку этого аспекта и направлены предлагаемые материалы.
На элементарном и конкретном уровне множества можно обсуждать уже с 1 класса. Разные форматы заданий и постепенное усложнение, посредством добавление новых деталей, располагают к самостоятельной работе.
Это первая часть постов про круги Эйлера, в я расскажу про подготовительные упражнения. В конец файла будет ссылка на сборник всех перечисленных упражнений. Во второй части я подробнее остановлюсь на текстовых задачах. Третья часть же будет посвящена применению диаграмм для обсуждения делимости, наивной теории множеств и математической логики.
Упражнения даны в условном порядке возрастания сложности. Упражнения требуют вдумчивого подхода и полны ловушек. Как помочь ученикам почти самостоятельно преодолеть эти трудности можно прочитать в этом посте.
Введение
Но перед тем, как приступить к задачам, стоит обсудить слово "множество" и его значение. Нет смысла формулировать точное определение, достаточно с одной стороны подобрать синонимы (например, "набор") и найти однокоренное слово "много".
Несмотря на близость к слову "много", множество не обязательно содержит много элементов. Чтобы вывести учеников на это можно показать несколько предметов в руках и попросить перечислить "множество предметов, которое я держу в рука".
После этого можно оставить в руках 1 предмет (например, терпеливую кошку). Так получаем множество состоящее из одного предмета. После показываем пустые руки, и получаем множество без элементов. Такое множество называется "пустым".
Далее стоит обсудить следующие картинки. После знакомства с каждым вариантом взаимного расположения множеств
Небольшое вступление настраивает учеников на рабочую атмосферу, после чего они приступают к задачам.
Расставить числа в 1 и 2 круга (1-3)
Первое упражнение, которое сразу может вызвать затруднение, но внимательный школьник сам сможет это затруднение и разрешить. А именно увидеть, что на схеме даны два множества.
Усложняем упражнения и даём схемы с двумя (не считая большого множества) кругами. Таких взаимных положений может быть 3: множества отдельны друг от друга, пересекаются и одно лежит внутри другого. Тут важно натолкнуть учеников на идею, что каждое число встречается ровно 1 раз.
Раскрасить области по условию (1+)
После того, как ученики осваивают идею о возможном взаимном расположении двух множеств можно переходить дальше. Но вместо аналогичных задач про 3 множества, для начала я предлагаю следующие упражнения.
Расставить числа в 3 круга (2+)
Переходим к задачам посложнее. Возможно, что для некоторых второклассников эти задачи будут объективно трудными, так как затрагивают работу с причинно-следственными связями, но эта же причина делает обсуждение этих задач с третьеклассниками чем-то большим, чем просто выполнение упражнений.
Для особо прытких учеников можно дать дополнительное задание поставить в пустые области по одному своему числу или попробовать объяснить, почему это невозможно сделать.
Задания, связанные с чтением диаграмм (1-2)
Следующим мини-этапом станут упражнения на анализ диаграмм. Обычно я задаю эти задачи второклассникам на дом, так как они носят развлекательный характер и помогают посмотреть на изученный механизм с новой стороны.
Задача на сопряжённые схемы (2+)
Важно, чтобы ученик мог рисовать разные схемы. Для этого подходит следующая задача, в которой для одной и той же ситуации нарисованы две разные схемы.
Придумать числа для каждой из областей (3+)
Следующий уровень сложности — самому придумывать числа для заданных областей. Чтобы сделать это задание более конкретным, числа должны быть самыми маленькими или самыми большими в зависимости от задания.
Придумать названия множеств (3+)
Теперь ученикам предстоит самостоятельно придумать названия множествам по заданным элементам. Многие из этих задач могут вызвать трудности и у четвероклассников, тем не менее это хорошие упражнения, дарящее решившему их радость и чувство выполненного долга.
Задачи на расставление точек (1+)
Помочь самостоятельно отыскать алгоритмы решения арифметических задач поможет следующая серия задач. Основная идея заключается в том, что сначала дети решают задачи перебором, но устав от него или столкнувшись с большими числами, смогут придумать аналитический способ решения.
Первоклассникам будет достаточно самых первых задач, чтобы поработать не только с конкретными объектами (числа, цвета, персонажи), но и с количеством. Решение сложных задач ждёт ребят в будущем!
Материалы
Все перечисленные выше упражнения можно найти в файле по ссылке ниже.
Задачи можно копировать из гугл.документа или создать копию этого файла у себя на диске. Для навигации по файлу используйте оглавление слева.
