· Прежде чем искать область определения той самой "страшной" функции, которая записывается с помощью фигурной скобки и носит название "кусочная", рассмотрим задачу, в которой нужно найти область значений простой линейной функции в том случае, если её область определения задана и ограничена.
Найти область значений функции
Данная функция является линейной, поскольку аргумент х стоит в первой степени. Функция возрастает на всей своей области определения, т.к. чем больше аргумент х, тем больше функция f. Действительно, если мы будем последовательно умножать положительное число 2 на отрицательные числа, перебирая их от минус бесконечности до нуля и подставляя на место переменной х, значение 2x будет увеличиваться, а вместе с ним будет увеличиваться и значение выражения 2х-1. Далее, придавая x значения от нуля до плюс бесконечности, мы также убедимся в том, что значение этого выражения будет увеличиваться.
Поэтому
Таким образом, функция на заданном промежутке принимает значения от 1 до 7, или
· Теперь рассмотрим способ нахождения области значений кусочной функции. Несмотря на внешнюю сложность задания функции такого вида, и нахождение значений, и построение графика не представляет особой сложности. Итак, нам дана кусочная функция:
Заметим, что, как и в предыдущем примере, область определения функции нам дана, однако способ задания отличается от предыдущего примера тем, что область определения разделена на три области. Также заметим, что f(0) и f(3) вычисляется по формуле 2х-1, поскольку значение х=3 входит в первый промежуток. А, например, f(3,1)=5=f(5).
Пока мы не знаем как функция будет вести себя на заданных промежутках, то есть нам неизвестно, где она будет возрастать, где убывать, а где сохранять постоянное значение. Пока мы это не выясним, определить наибольшее и наименьшее значения на всех трёх заданных промежутках будет сложно. Рассмотрим каждый из них подробнее и определим, на каком промежутке функция возрастает, а каком убывает, т.е. определимся с её монотонностью. Как мы уже выяснили, функция
возрастает на всей области определения, а значит f(0) меньше, чем f(3). Теперь рассмотрим функцию
которая задана на промежутке
Рассуждая как и в предыдущем примере, нетрудно убедиться в том, что данная функция убывает на всей области определения, а значит f(5) больше, чем f(7).
Найдём значение функции на границах заданных областей определения:
Таким образом, наименьшим значением функции на заданном промежутке будет значение -2,4, а наибольшим – 5. Запишем ответ:
Спасибо, что остались на уроке до конца. В комментариях напишите какая часть темы "Функции" самая сложная для вас.