Важное место в начертательной геометрии занимают поверхности.
Существует несколько способов задания поверхности: аналитический, графический, кинематический.
В начертательной геометрии чаще поверхность задают кинематически – как множество всех положений перемещающейся по определенному закону линии в пространстве. Эта линия называется образующей – l. Как правило, она скользит по некоторой неподвижной линии, называемой направляющей m. Совокупность образующих, и направляющих, создают каркас поверхности (см. рис. 1).
На комплексном чертеже любая поверхность задается своим определителем – совокупностью геометрических элементов, задающих поверхность, позволяющих реализовать кинематический закон образования поверхности и построить каждую точку поверхности.
Чертёж поверхности представляет собой проекцию очерка этой поверхности. Очерком поверхности называется проекция видимого контура поверхности относительно данной плоскости проекции. Контуром видимости поверхности является линия касания проецирующих лучей, огибающих данную поверхность при изображении её на плоскости проекций (см. рис. 2).
Геометрический порядок поверхности – наибольшее число точек её пересечения с прямой линией.
Плоскость – поверхность первого порядка. Прямая может пересечь плоскость не более чем в одной точке (см. рис. 3).
Сфера, цилиндр и конус – поверхности второго порядка. Прямая пересекает их максимум в двух точках (см. рис. 4).
Открытый тор – поверхность четвёртого порядка. Прямая может его пересечь не более чем в четырёх точках (см. рис. 5).
Мир поверхностей многообразен – начиная от простой плоскости до сложнейших форм гранных и кривых поверхностей. Поверхности образованы геометрическим множеством последовательных положений линий (прямой или кривой) движущейся в пространстве.
Чаще всего поверхности классифицируют в зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве.
Линейчатые поверхности – это поверхности, у которых образующей является прямая линия.
Нелинейчатые поверхности – это поверхности, у которых образующая – кривая линия.
Линейчатые поверхности подразделяются на развертываемые и неразвертываемые. Развёртываемой называется поверхность, если её без складок и разрывов можно совместить с плоскостью.
Развертываемые поверхности
У развёртываемых поверхностей смежные образующие параллельны друг другу или пересекаются друг с другом. К таким поверхностям можно отнести цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Если поверхность образована прямолинейной образующей l, движущейся параллельно заданному направлению и пересекающая направляющую m – кривую линию, то она называется цилиндрической поверхностью, в частности круговой цилиндр (см. рис. 6).
Поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l, проходящей через неподвижную точку S и пересекающей направляющую m, называется конической поверхностью, в частности круговой конус. Точка S называется вершиной конической поверхности (см. рис. 7).
Торсовая поверхность с ребром возврата m, образуется движением прямой образующей l, касающейся во всех положениях некоторой пространственной кривой m, называемой ребром возврата (см. рис. 38).
Неразвертываемые поверхности
У неразвёртываемых поверхностей смежные прямолинейные образующие скрещиваются. К таким поверхностям можно отнести поверхности с плоскостью параллелизма, а также винтовые поверхности.
Поверхность с плоскостью параллелизма, также называемая поверхностью Каталана, представляет собой множество прямых образующих линий l, параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m и n. К таким поверхностям относится цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид.
Цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым линиям, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма (см. рис. 9).
Коноидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим, одна из которых кривая линия, а другая прямая, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма (см. рис. 9).
Гиперболическим параболоидом (косой плоскостью) называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым (см. рис. 9).
Косая плоскость относится к линейчатым поверхностям. Она образуется движением прямой линии. Однако для этой поверхности образующей может быть и кривая линия, например, парабола (см. рис. 10).
Если эту допустим эту поверхность пересечь плоскостью, параллельной плоскости П1, то в сечении получится гипербола. Поэтому косую плоскость называют гиперболическим параболоидом.
К неразвёртывающимся линейчатым поверхностям также относятся винтовые поверхности. Но о них подробнее в одной из следующих лекций.
Нелинейчатые поверхности
Все нелинейчатые поверхности неразвёртываемые.
Нелинейчатые поверхности подразделяют на поверхности с образующей постоянного вида и образующей переменного вида, то есть изменяющей свою форму в процессе движения.
К нелинейчатым поверхностям с постоянной образующей относятся:
- поверхности вращения, которые, соответственно образованы кривой линией;
- циклические трубчатые поверхности.
К нелинейчатым поверхностям с переменной образующей можно отнести:
- циклические каналовые поверхности;
- графические поверхности
Циклические и графические поверхности
Циклической поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо окружностью, являющаяся образующей постоянного или переменного радиуса, при ее произвольном движении.
К циклическим поверхностям относятся каналовые и трубчатые поверхности.
Каналовая поверхность образуется движением окружности переменного радиуса, причем центр окружности перемещается по заданной кривой направляющей, а ее плоскость остается перпендикулярной этой кривой (см. рис. 11).
Трубчатая поверхность отличается от каналовой тем, что ее образующая окружность имеет постоянный радиус (см. рис. 11).
К циклическим можно отнести все поверхности вращения, так как они могут быть образованы движением окружности, центр которой перемещается вдоль оси, а её плоскость перпендикулярна оси. К ним также можно отнести и другие поверхности, которые имеют семейства круговых сечений.
Графической поверхностью или по-другому каркасной поверхностью, называется поверхность, образование которой не подчинено какому-либо геометрическому закону.
К таким поверхностям относится, например, поверхности земной коры. На чертеже эти поверхности изображают при помощи совокупности некоторых линий. Так, земная поверхность изображается при помощи семейства ее параллелей (горизонталей) (см. рис. 12). Земную поверхность, как правило, изображают на чертежах с числовыми отметками.
Большинство САПР реализуют три технологии формирования геометрических моделей: каркасное, поверхностное и твердотельное моделирование. Многие системы поддерживают гибридное моделирование. Базовые знания в области начертательной геометрии и понимание законов образования поверхностей помогают успешно реализовать задачи компьютерного моделирования.
