В этой статье мы рассмотрим определения, образование и принципы построения некоторых плоских кривых, наиболее часто встречающихся в практике
Плоские алгебраические кривые
Все плоские кривые второго порядка называют кониками или линиями конических сечений, так как они могут быть получены при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью.
Кривая второго порядка (коника) – геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида: a1х^2+а2ху+а3у^2+а4х+а5у+С=0
Невырожденные кривые второго порядка: эллипс, окружность гипербола и парабола.
Плоскость, пересекающая конус одновременно по всем образующим, позволяет получить эллипс. Если плоскость при этом перпендикулярна оси вращения, то в сечении получается окружность. При прохождении такой плоскости через вершину конуса окружность вырождается в точку (см. рис. 1) .
Плоскость, параллельная только одной образующей, дает в сечении параболу. В частном случае, когда плоскость является касательной поверхности конуса, парабола вырождается в прямую образующую конуса (см. рис. 2).
Плоскость, параллельная сразу двум образующим, дает в сечении гиперболу. В частном случае, при прохождении плоскости через вершину конуса, в сечении получаем две пересекающиеся прямые (см. рис. 3).
Эллипс – это плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная большой оси эллипса (см. рис. 4).
Точки фокусов расположены на большой оси эллипса симметрично относительно его центра и удалены от концов малой оси эллипса на расстоянии, равным половине большой оси эллипса. Причём большая и малая оси эллипса взаимно перпендикулярны.
В начертательной геометрии эллипсы чаще всего рассматривают как проекции окружности (см. рис. 5). При проецировании окружность может спроецироваться на плоскость проекций в виде в виде эллипса в общем случае, а также окружности или отрезка прямой – в частном. Окружность проецируется на плоскость проекций без искажения, если ее плоскость параллельна плоскости проекций.
Существует ряд способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей. Для этого вычерчиваем две концентрические окружности с радиусами, равными большой и малой полуоси эллипса. Проводим прямые, проходящие через их центр. Через точки пересечения прямых с большой окружностью проводим вспомогательные линии параллельно малой оси эллипса, с малой окружностью – параллельно большой оси эллипса. Точки пересечения соответствующих пар этих прямых принадлежат искомому эллипсу. Соединив полученные точки получаем замкнутую кривую (см. рис. 6).
В компьютерной графике эллипс чаще всего строят также по большой и малой полуоси или при помощи неравномерного масштабирования окружности.
Эллипс обладает полезным оптическим свойством: лучи света, выходящие из одного фокуса эллипса после отражения от эллипса возвращаются в другой его фокус (отраженным считается луч, отраженный от касательной к эллипсу по правилу «угол падения равен углу отражения»)
Парабола – это незамкнутая плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от определённой точки (фокуса) и прямой (директрисы). Парабола имеет форму разомкнутой кривой с одной осью симметрии. Ось – это прямая, проходящая через фокус параболы и перпендикулярная её директрисе. Расстояние от фокуса до директрисы обозначают буквой р и называют параметром параболы. А точка пересечения параболы с её осью – вершиной параболы (см. рис. 7).
Парабола обладает полезным оптическим свойством: лучи, вышедшие из фокуса параболы, отразившись от неё, пойдут параллельно оси симметрии; лучи, пришедшие параллельно оси симметрии параболы, отразившись от неё, придут в фокус
Гипербола – плоская симметрично сдвоенная кривая, разность расстояний от каждой точки, которой, до двух определённых точек (фокусов) есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами ветвей гиперболы. Осью гиперболы называется прямая, соединяющая её фокусы. Ось симметрии, которая не пересекает гиперболу, называют мнимой. Точка пересечения действительной и мнимой оси называется центром гиперболы. Точки пересечения с её действительной осью называется вершинами гиперболы (см. рис. 8).
Оптическое свойство гиперболы похоже на оптическое свойство эллипса. Пусть луч света выходит из одного фокуса гиперболы. Тогда продолжение его отражения от гиперболы проходит через ее другой его фокус.
Инженерный дискриминант коник.
Немного об инженерном дискриминанте коник. В аналитической геометрии доказывается, что любая коника (эллипс, гипербола, парабола) определяется пятью независимыми геометрическими параметрами: пятью линейно независимыми точками, или пятью касательными, или любой комбинацией из касательных и точек, удовлетворяющих указанным условиям.
На практике часто конику задают двумя касательными к ней, точками касания на них и еще какой-либо ее точкой. Эти 5 параметров обусловлены пятью разными коэффициентами в уравнении общего вида коник. Окружность, являясь частным случаем, определяется всего лишь 3 параметрами. Поэтому одну и только одну окружность можно вписать в треугольник или описать около треугольника.
Уравнение общего вида коники a1х^2+а2ху+а3у^2+а4х+а5у+1=0.
Уравнение общего вида окружности a1(х^2+у^2)+а2х+а3у+1=0.
К плоским алгебраическим кривым высших порядков принадлежат линии, которые описываются алгебраическими уравнениями третьего и высшего порядков. Существует бесконечное количество таких кривых.
Плоские кривые третьего порядка называют также кубиками, плоские кривые четвертого порядка квартиками и т.д.
К плоским кривым четвёртого порядка можно отнести Кривую Персея – это кривая является результатом пересечения открытого тора с плоскостью, параллельной его оси.
Кривая Персея (спирическое сечение, др. греч. [speira] – тор) – сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка (см. рис. 9).
Трансцендентные кривые
Все ранее рассмотренные плоские кривые относились к алгебраическим кривым.
Если закономерная кривая определяется неалгебраическим уравнением, то она относится к числу трансцендентных. Трансцендентные кривые в отличие от алгебраических могут иметь бесконечное количество точек пересечения с прямой, точек перегиба, вершин и т.п. Среди трансцендентных плоских кривых выделяют графики тригонометрических функций, показательной и логарифмической функции, класс циклоидальных кривых, спирали.
Одним из основных представителей циклоидальных кривых является циклоида. Циклоида – это траектория точки окружности, которая катится по прямой без скольжения (см. рис. 10). «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
Синусоида – это плоская кривая линия, изображающая изменение синуса в зависимости от изменения величины центрального угла. График функции синусоиды у=sinx, непрерывная кривая линия с периодом Т=2πR (см. рис. 27).
Самой известной спиральной кривой является Спираль Архимеда. Спираль Архимеда это незамкнутая плоская кривая, которую описывает точка, равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки, называемой полюсом и одновременно равномерно удаляющаяся от него (см. рис. 12).
Эвольвентой окружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту (см. рис. 13).
Эвольвента на самом деле более широкое понятие. Эвольвента (от лат. «evolvens» – разворачивающийся) плоской линии l – это линия по отношению к которой l является эволютой. Эволюта плоской кривой – геометрическое место точек, являющихся центрами кривизны кривой. В вышеуказанном примере окружность выступает в качестве эволюты.
Кривые в компьютерной графике.
Решение практических задач по формированию сложных технических контуров наталкивается на такую проблему, как невозможность представления всего контура единственной кривой. Это породило необходимость конструирования составных кривых, состоящих из гладко сопряженных сегментов, ограниченной алгебраической степени. В математике они более известны, как сплайны.
Сплайн (англ. «Spline» [гибкое лекало, полоса металла, используемая для черчения кривых линий]) – кривая, состоящая из гладко сопряжённых сегментов, алгебраической степени.
Сплайны оказались удобным аппаратом для приближенного представления функциональных зависимостей сложной структуры, возникающих при решении разнообразных научно-технических задач.
Одним из видов сплайнов являются кривые Безье. Кривая Безье – это математически описанная кривая, используемая в компьютерной графике для рисования плавных изгибов. Они названы в честь французского инженера Пьера Безье (1910-1999), хотя он не был первым или единственным, кто "изобрел" эти типы кривых. Французский математик Поль де Кастельжо (1930-н.в.) первым начал исследовать природу этих кривых в 1959 году, работая в Citroën, и открыл действительно элегантный способ их построения. Кривые Безье – это, по сути, «полиномы Бернштейна», семейство математических функций, исследованных С. Н. Бернштейном (1880-1968), чьи публикации о них датируются, по крайней мере, до 1912 года.
Также распространены в системах компьютерного моделирования NURBS-кривые или неоднородные рациональные B-сплайны.
NURBS (англ. Non-uniform rational B-spline [Неоднородный рациональный В-сплайн]) – математическая форма, применяемая в компьютерной графике для генерации и представления кривых и поверхностей. NURBS кривые внесли несравнимый вклад в развитие систем автоматизированного проектирования (см. рис. 14).
В заключение хотелось бы отметить важность использования линий. При помощи них можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Кривые линии образуют поверхности изделий, архитектурных элементов и конструкций. С помощью графического решения при помощи линий можно упростить многие инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата, что не всегда оправдано.
