π — это самая большая суперзвезда среди всех чисел. Оно как-то воплощает понятие «круглости» и является для нас, простых смертных, недостижимым, поскольку всегда будет бесконечно много цифр, скрытых от нас и не следующих никакому закономерному шаблону.
Как многие из вас знают, π определяется как отношение длины окружности любого круга к его диаметру. Поэтому естественно ожидать, что круг где-то спрятан в уравнениях, когда появляется π. Несмотря на эту связь с геометрией, π, кажется, появляется повсюду в математике, иногда в местах, очень далеких от его первичного происхождения.
В этой статье мы рассмотрим 5 очень известных и красивых формул для π и покажем, почему они верны. Мы покажем их с помощью набросков доказательств, что означает, что могут остаться некоторые детали для читателя, если тот хочет быть очень точным. Эти наброски призваны убедить вас и помочь вам понять, почему формулы верны.
Формула Лейбница для π
Формула Лейбница для π, названная в честь Готфрида Лейбница, гласит:
и это один из тех удивительных результатов, где не очевидно, где находится «круг». Хотя этот ряд назван в честь Лейбница, который по всем меркам был выдающимся математиком и ученым, ряд был на самом деле открыт индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы за сотни лет до Лейбница.
Набросок доказательства
Существует множество доказательств этого факта. Например, можно показать, что ряд Тейлора функции arctan(z) является следующим степенным рядом:
который сходится, когда -1 ≤ z ≤ 1. Если мы подставим z = 1, мы получим результат.
Таким образом, круг на самом деле скрывался в углах синусов косинусов, потому что то, что мы в конечном итоге спросили, было, какой угол -π/2 ≤ θ ≤ π/2 нам нужен, чтобы sin(θ) = cos(θ), и ответ, конечно же, π/4 в радианах.
Произведение Валлиса
Произведение Валлиса для π, опубликованное Джоном Валлисом в 1656 году, утверждает, что π можно выразить в терминах следующего бесконечного произведения.
Набросок доказательства
Вспомним формулу произведения Эйлера для функции синуса.
Пусть x = π/2, тогда у нас
Существует множество других доказательств этого факта, и сам Валлис доказал это другим способом, используя математический анализ. Иногда этот результат записывается более кратко
Проблема Базеля
Это одна из самых известных задач во всей математике. Она не только красива сама по себе, но и имеет знаменитую историю.
Ее впервые поставил Пьетро Менголи в 1650 году и, наконец, решил гениальный математик Леонард Эйлер в 1734 году. Поскольку лучшие математики того времени пытались решить ее безуспешно, Эйлер стал очень известным, доказав ее.
Фактически, это была проблема, которая сделала Леонарда Эйлера знаменитым, когда он решил ее, используя гениальные методы, связанные с функцией синуса.
Проблема Базеля гласит:
Удивительно, но π появляется на правой стороне этого уравнения, хотя все обратные квадраты натуральных чисел на левой стороне кажутся далекими от любой круговой формы!
Круг в данном случае можно найти через равновесные точки на круге и обратную теорему Пифагора, но это уже другая история.
Набросок доказательства
Следующее доказательство принадлежит самому Эйлеру.
Вспомним, что разложение функции синуса в ряд Тейлора является бесконечным рядом
и что функция синуса также может быть записана как бесконечное произведение, произведение, требующее некоторого обоснования, которое появилось позже, но Эйлер был уверен, что это правильно, и поэтому продолжил, написав
и, конечно же, будучи Эйлером, он распознал обратные квадраты в множителях и хотел их выделить. Без проблем, он умножил произведение и получил
Теперь он утверждал, что это представление степенного ряда должно быть точно таким же, как разложение в ряд Тейлора, и поэтому коэффициенты также должны быть одинаковыми.
В частности, коэффициенты членов x³ должны быть равны. Записывая это равенство, мы получаем
и, умножив обе стороны на π², получаем результат.
Игла Буффона
Проблема иглы Буффона — это вопрос, впервые поставленный в 18 веке Жоржем-Луи Леклерком, графом де Буффоном. Он гласит следующее.
Предположим, у нас есть игла и плоская поверхность с параллельными полосами на ней, каждая из которых имеет ту же ширину, что и игла. Если мы уроним иглу на поверхность, какова вероятность, что игла пересечет линию между двумя полосами?
Очевидно, игла может быть ориентирована во всех направлениях и падать в любом месте. У нас есть два сценария этого на изображении ниже, где синие круги указывают на то, что все возможные ориентации иглы образуют круг.
Очевидно, что проблема иглы Буффона была самой ранней задачей в геометрической вероятности, которая была решена.
Набросок доказательства
Для простоты и без потери общности выберем длину иглы равной 1. Единица измерения не имеет значения.
Представим, что мы поместили нашу плоскую поверхность в декартовую систему координат, расположив одну из вертикальных линий на оси y. Затем обозначим положение центра иглы вдоль оси x через x и предельный угол пересечения через θ, то есть если угол между иглой и осью x находится в пределах ±θ от оси x, то игла пересечет вертикальную линию.
Картина этого выглядит следующим образом:
Если игла приземлится в серой области на рисунке выше, то она пересечет вертикальную линию. Подумав об этом некоторое время, мы на самом деле нуждаемся только в одном параметре, так как θ и x являются зависимыми переменными. В частности, мы вспоминаем из тригонометрии, что cos(θ) = x.
Так как мы хотим записать серую область как функцию от x, мы бы предпочли записать θ также как функцию от x. У нас есть θ(x) = arccos(x).
Теперь мы можем найти вероятность того, что игла пересечет вертикальную линию слева, учитывая фиксированный центр x, а именно p(x) = 2θ(x)/π. Это потому, что игла всегда будет находиться в пределах 180 градусов от оси x, соответствующей левой полуокружности, поэтому пространство всех возможных исходов равно π радианам, тогда как пространство желаемых исходов (пересечение линии) равно 2θ радианам, соответствующим серой области.
Но нам нужна вероятность пересечения иглы любой линии при случайном броске. Для этого мы просто «складываем» вероятности, соответствующие всем бесконечно многим возможным центрам от одной линии до другой.
Это выражается через интеграл
Таким образом, вероятность того, что игла пересечет линию при случайном броске, составляет ровно 2/π ≈ 0.6366, что составляет около 64%.
Одной из интересных вещей в этой формуле является то, что она позволяет нам вычислить π, просто бросая иглы или палочки вокруг. Мы можем делать это в пустыне через эксперименты и с некоторым знанием вероятности. Удивительно!
В 1901 году итальянский математик Марио Лаццарини провел эксперимент с иглой Буффона. Бросая иглу 3408 раз (должно быть, ему было скучно в тот день), он получил хорошо известное приближение 355/113 для π, точное до шести десятичных знаков.
Гауссов интеграл
Этот интеграл назван в честь великого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Интеграл следующий:
Существует почти столько же способов показать это, сколько есть творческих математиков. Эта проблема стала своего рода стандартным вызовом в математическом сообществе. Нам все еще нужно быть немного творческими, потому что интегранду нет стандартной первообразной в терминах известных функций.
Интеграл можно рассматривать как площадь под графиком в форме колокола на следующем изображении.
Мы можем решить его, используя подстановку, метод Лапласа, гамма-функцию или "дифференцирование под знаком интеграла", популярно называемое техникой Фейнмана.
Все это отличные решения, но я все же считаю, что решение с использованием полярных координат более наглядно, поскольку оно объясняет наличие π.
Полярное интегрирование
Прежде чем набросать доказательство этого факта, вспомним, что когда у нас есть двойной интеграл, то есть интеграл от функции двух переменных, вычисляющий объем под поверхностью вместо площади под кривой, мы можем перейти к полярному интегрированию, изменив систему координат на полярные координаты.
Точка на плоскости может быть уникально описана ее расстоянием до начала координат и углом с первой осью. Таким образом, мы можем перейти от (x, y) в декартовых координатах к (r, θ) в полярных координатах. В частности, у нас есть следующие соотношения
x = r cos θ
y = r sin θ
и из двух вышеприведенных соотношений мы сразу получаем соотношение Пифагора
r² = x² + y²
Когда мы интегрируем по поверхности в полярных координатах, мы делим плоскость на малые бесконечно малые участки, называемые полярными прямоугольниками, и суммируем их, взвешенные значениями функции.
При увеличении на таком полярном прямоугольнике, как на изображении выше, мы используем несколько фактов из геометрии. Мы можем предположить, что r_0 ≈ r_1 и вычисление длины стороны очень просто. Длина окружности полного круга радиуса r, конечно, C = 2πr, и поэтому длина стороны равна просто C⋅Δθ/2π ≈ rΔθ. Площадь этого полярного прямоугольника равна ΔA ≈ rΔθΔr.
Набросок доказательства
Начнем с записи интеграла, и так как это число (мы знаем, что он сходится), мы можем просто назвать его I. Сделав это, мы имеем
Теперь возводим обе стороны в квадрат и используем распределительный закон для интегралов (то есть умножение на постоянную).
Теперь наша задача найти объем под 2D графиком интегранда выше. Обратите внимание, что он вращательно симметричен во всех направлениях.
Вспомним, что мы можем записать это в полярных координатах и, поскольку r² = x² + y², у нас r изменяется от 0 до ∞, а θ изменяется от 0 до 2π радианов, и поэтому
Теперь обратите внимание, что применяется «обратное» правило цепочки, поскольку d/dr (-r²) = -2r. Таким образом, мы получаем
и, наконец, приходим к результату I² = π, или как мы заявили в начале раздела,
π в данном случае исходит из вращательной симметрии функции Гаусса в 2D, которая является кругом на каждом уровне, параллельном плоскости xy.
