Представьте, что у вас есть восемь одинаковых окружностей, которые вы можете как угодно располагать друг относительно друга. И в какой-то момент вы сложили окружности так, что каждая из них соприкасается с остальными семью.
Как вы думаете, какое максимальное количество точек касания могут иметь эти восемь окружностей?
Ответ, как обычно, вы узнаете ниже.
Чтобы найти ответ, нужно немного порисовать. Для начала нарисуем две окружности, пересекающиеся друг с другом:
Как видите, у двух окружностей есть ровно две точки пересечения. Теперь дорисуем третью окружность так, чтобы она имела по 2 точки пересечения с остальными двумя:
Каково теперь количество точек касания? Две точки имеют первые две окружности, и ещё четыре точки добавляет третья окружность – по две точки с каждой из окружностей. Итого – 6 точек.
Добавим четвёртую окружность:
Она добавляет ещё 6 точек, и суммарное количество точек касания – 12.
Дальнейшее увеличение окружностей уже не нужно – мы, кажется, выявили закономерность роста числа точек пересечения:
У двух окружностей: 2 точки пересечения.
У трёх окружностей: 2 + 4 = 6 точек пересечения.
У четырёх окружностей: 2 + 4 + 6 = 12 точек пересечения.
Отсюда легко понять, что каждая новая окружность, при условии, что она соприкасается со всеми другими, добавляет на две точки пересечения больше, чем предыдущее кольцо. На основе этих закономерностей мы может провести вычисления для разного количества окружностей.
Для трёх окружностей: 2 + 2х2 = 6
Для четырёх окружностей: 2 + 2х2 + 3х2 = 12
Для пяти окружностей: 2 + 2х2 + 3х2 + 4х2 = 20
И так далее хоть до бесконечности. Но можно это представить и в виде формул, где n – число пересечений, a – число окружностей:
Для трёх окружностей: n = 2 + 2(a - 1) = 2 + 2(3-1) = 6
Для четырёх окружностей: n = 2 + 2(a - 1) + 2(a - 2) = 2 + 2(4 - 1) + 2(4 - 2) = 12
И эти формулы тоже можно продолжать до бесконечности. Но все они могут быть приведены к одному простому и лаконичному результаты (не буду утомлять вас промежуточными расчётами):
n = a^2 - a
То есть, для поиска пересечений окружностей нужно из квадрата числа окружностей вычесть число окружностей. Проверим для разного количества окружностей.
Для двух окружностей: 2^2 - 2 = 2
Для трёх окружностей: 3^2 = 3 = 6
Для четырёх окружностей: 4^2 - 4 = 12
И сразу для восьми окружностей: 8^2 - 8 = 56.
Результат легко проверить указанными выше способом – посчитать суммарное количество точек пересечения при добавлении каждой новой окружности. Но это я уже оставляю вам, ведь здесь сегодня и так слишком много расчётов.