Решение неравенств с двумя переменными может показаться сложным, но если следовать последовательным шагам, это становится вполне понятным. Давайте рассмотрим пример и разберем его шаг за шагом.
Пример. Рассмотрим неравенство:
2𝑥+3𝑦≤6
1. Надо понять, что представляет собой неравенство. Неравенство с двумя переменными, такими как 𝑥 и 𝑦, представляет собой область на координатной плоскости. В данном случае, мы ищем все точки (𝑥,𝑦), которые удовлетворяют условию 2𝑥+3𝑦≤6.
2. Преобразовать неравенство в уравнение. Для начала, мы преобразуем неравенство в уравнение:
2𝑥+3𝑦=6
Это уравнение представляет собой прямую линию на координатной плоскости.
3. Найти точки пересечения с осями. Чтобы построить эту прямую, найдем точки пересечения с осями О𝑥
и О𝑦.
- Пересечение с осью О𝑥:
Подставим 𝑦=0:
2𝑥+3*0=6
2𝑥=6
𝑥=3
Точка пересечения: (3;0)
- Пересечение с осью О𝑦:
Подставим 𝑥=0:
2*0+3𝑦=6
3𝑦=6
𝑦=2
Точка пересечения: (0;2)
4. Построить прямую на координатной плоскости. Теперь, когда у нас есть две точки пересечения, мы можем построить прямую, проходящую через точки (3;0) и (0;2).
5. Определить область неравенства. Теперь нам нужно определить, какая область на плоскости удовлетворяет неравенству 2𝑥+3𝑦≤6. Для этого выберем тестовую точку, которая не лежит на прямой. Обычно удобно использовать точку (0;0).
- Подставим (0;0) в неравенство:
2(0)+3(0)≤6
0≤6
Это верно, значит, точка (0,0)
принадлежит области решения.
6. Заштриховать область. Так как точка (0;0) удовлетворяет неравенству, мы закрашиваем область, которая включает эту точку и ограничена прямой 2𝑥+3𝑦=6. Поскольку неравенство нестрогое (≤), сама прямая также включается в область решения, и мы рисуем её сплошной линией.
Мы получили область на координатной плоскости, которая включает все точки, удовлетворяющие неравенству 2𝑥+3𝑦≤6. Эта область находится ниже и на прямой 2𝑥+3𝑦=6.
Дополнительный пример. Рассмотрим неравенство:
𝑥−𝑦>1
1. Преобразуем неравенство в уравнение: 𝑥−𝑦=1.
2. Найдем точки пересечения с осями:
- 𝑥=1
при 𝑦=0
(точка (1;0)).
- 𝑦=−1
при 𝑥=0
(точка (0;−1)).
3. Построим прямую через точки (1;0) и (0;−1).
4. Выберем тестовую точку, например, (0;0):
0−0>1
0>1
(неверно)
5. Значит, область решения находится по другую сторону от прямой, чем точка (0;0). 6. Заштрихуем область выше прямой, не включая саму прямую (пунктирная линия). Таким образом, мы последовательно решили два неравенства с двумя переменными, определив области решений на координатной плоскости.
