Как решать неравенства с двумя переменными?

Решение неравенств с двумя переменными может показаться сложным, но если следовать последовательным шагам, это становится вполне понятным. Давайте рассмотрим пример и разберем его шаг за шагом.

Пример. Рассмотрим неравенство:

2𝑥+3𝑦≤6

1. Надо понять, что представляет собой неравенство. Неравенство с двумя переменными, такими как 𝑥 и 𝑦, представляет собой область на координатной плоскости. В данном случае, мы ищем все точки (𝑥,𝑦), которые удовлетворяют условию 2𝑥+3𝑦≤6.

2. Преобразовать неравенство в уравнение. Для начала, мы преобразуем неравенство в уравнение:

2𝑥+3𝑦=6

Это уравнение представляет собой прямую линию на координатной плоскости.

3. Найти точки пересечения с осями. Чтобы построить эту прямую, найдем точки пересечения с осями О𝑥

 и О𝑦.

- Пересечение с осью О𝑥:

Подставим 𝑦=0:

2𝑥+3*0=6

2𝑥=6

𝑥=3

Точка пересечения: (3;0)

 - Пересечение с осью О𝑦:

Подставим 𝑥=0:

2*0+3𝑦=6

3𝑦=6

𝑦=2

Точка пересечения: (0;2)

4. Построить прямую на координатной плоскости. Теперь, когда у нас есть две точки пересечения, мы можем построить прямую, проходящую через точки (3;0) и (0;2).

5. Определить область неравенства. Теперь нам нужно определить, какая область на плоскости удовлетворяет неравенству 2𝑥+3𝑦≤6. Для этого выберем тестовую точку, которая не лежит на прямой. Обычно удобно использовать точку (0;0).

- Подставим (0;0) в неравенство:

2(0)+3(0)≤6

0≤6

Это верно, значит, точка (0,0)

 принадлежит области решения.

6. Заштриховать область. Так как точка (0;0) удовлетворяет неравенству, мы закрашиваем область, которая включает эту точку и ограничена прямой 2𝑥+3𝑦=6. Поскольку неравенство нестрогое (≤), сама прямая также включается в область решения, и мы рисуем её сплошной линией.

Мы получили область на координатной плоскости, которая включает все точки, удовлетворяющие неравенству 2𝑥+3𝑦≤6. Эта область находится ниже и на прямой 2𝑥+3𝑦=6.

Дополнительный пример. Рассмотрим неравенство:

𝑥−𝑦>1

1. Преобразуем неравенство в уравнение: 𝑥−𝑦=1.

2. Найдем точки пересечения с осями:

-  𝑥=1

 при 𝑦=0

 (точка (1;0)).

-  𝑦=−1

 при 𝑥=0

 (точка (0;−1)).

3. Построим прямую через точки (1;0) и (0;−1).

4. Выберем тестовую точку, например, (0;0):

0−0>1

0>1

(неверно)

5. Значит, область решения находится по другую сторону от прямой, чем точка (0;0). 6. Заштрихуем область выше прямой, не включая саму прямую (пунктирная линия). Таким образом, мы последовательно решили два неравенства с двумя переменными, определив области решений на координатной плоскости.