Рассмотрим пределы, у которых предельное значение х стремится к бесконечности, функция под знаком предела есть дробь, причем числитель и знаменатель содержат степенные многочлены.
Например, вычислим предел
Согласно правилу, пытаемся подставить предельное значение х в функцию.
Таким образом, у нас возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность
Как решать пределы данного типа: такая неопределённость раскрывается делением числителя и знаменателя дроби на старшую степень степенного выражения – проще говоря, выносим за скобки старшую степень в числителе и знаменателе
Подставляем предельное значение вместо х
В данном примере, старшие степени х в числителе и знаменателе были равны между собой (старшая степень – х в седьмой степени) и мы получили вместо неопределенности конкретное число.
Что же получим если старшие степени числителя и знаменателя иные:
Например, рассмотрим такой предел
Согласно алгоритму, для раскрытия неопределенности данного типа делим числитель и знаменатель на наибольшую из степеней – в данном случаем семерку
число, деленное на бесконечность (бесконечно большое), дает нуль (бесконечно малое), значит получаем
Далее, известно, что любое число деленное на бесконечно малое дает бесконечность
При раскрытии этой неопределенности получили бесконечность – отмечаю, что в данном примере старшая степень была у многочлена числителя.
Теперь рассмотрим еще один вариант событий – когда старшая степень многочлена будет в знаменателе
Максимальная степень в числителе: 6
Максимальная степень в знаменателе: 7
для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на максимальную из степеней – в данном случаем семерку
При раскрытии данной неопределенности получили нуль – отмечаю, что в этом примере старшая степень была в многочлене знаменателя.
Таким образом, при раскрытии неопределенности бесконечность на бесконечность у нас может получиться только три возможных варианта ответа: - конечное число, - нуль или - бесконечность.
ВЫВОД: в случае с пределом отношений степенных многочленов возможны три основных варианта:
Еще один пример для разнообразия:
В наличии нужный тип неопределённости и приём решения уже знаком – нужно разделить числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени.
Старшая степень числителя равна 2. Знаменатель…?
Как определить старшую степень, если многочлен под корнем?
Таким образом, используя третий пункт из выводов выше – могу сразу сказать, что предел будет равен нулю.
Проверяем прямым вычислением следуя уже известному алгоритму:
Для более глубокого понимания данного метода раскрытия такого типа неопределенностей стоит вникнуть в моменты по поводу порядка роста функций – это и другие методы раскрытия неопределенностей разберем в отдельных статьях.
Про пределы и функции - можно почитать прямо здесь: