Предел функции —базовое понятие математического анализа, связанное с понятиями непрерывности, производной и интеграла функции. Но самое главное — это мощный инструмент для анализа явлений и процессов в реальном мире. Математическая модель процесса описывается некоторой функцией, а предел функции позволяет анализировать поведение функции в окрестности определенной точки и сделать выводы о ее свойствах и характеристиках. Например, с помощью предела анализируют производительность алгоритмов в информатике и рассчитывают нагрузки на несущие опоры мостов в строительстве.
Вспомним кратно что такое функция и аргумент:
Функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.
В общем виде функция записывается так:
здесь f — это функция, x — её аргумент, т.е. функция — это переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменений другой величины – своего аргумента х, а y — результат, получаемый при подстановке аргумента.
Таким образом, величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению. Проще всего разобраться в этом на примере.
Рассмотрим элементарную функцию – всем знакомую параболу, ветви вверх:
Представим, что x стремится к числу 2, но не достигает его: 1,9; 1,99; 1,999;…1,99999.
Тогда y будет стремиться к 4: 3,61; 3,9601; 3,996001;…3,9999600001.
Число будет всё больше и больше, но никогда не достигнет числа 4, а только приблизится к нему.
Получается, что предел для функции при x, стремящемся к 2, равен 4.
Предел в математике обозначается символом lim:
Озвучиваем эту запись такими словами: для функции y = f(x) пределом называется такое число a, к которому приближается y при x, стремящемся к определённой точке x0. Стремление обозначается стрелкой.
Слово «стремится» означает, что переменная приближается к пределу на сколь угодно малую величину, но никогда не достигает его.
Пример 1: рассмотрим функцию – гиперболу и ее график
Мы видим, что чем больше становится значение x, тем ближе функция y = 4/x приближается к нулю, но при этом она никогда не достигнет его. То есть y не может стать равным 0.
Чтобы вычислить предел, во многих случаях достаточно подставить предельное значение в формулу, т.е. подставить в функцию значение, к которому стремится её аргумент
Пример 5: еще один интересный графический пример
И данная функция в нуле не определена, НО когда х приближается к нулю, значения функции становятся сколь угодно близкими к единице
Иными словами, предел функции в нуле равен 1:
Кстати, это так называемы первый замечательный предел – будем рассматривать более подробно в дальнейших материалах.
При возникновении неопределённостей, то есть отсутствия решения при подстановке числа, используются разные подходы: упрощение выражений с помощью деления многочленов на переменную в максимальной степени, умножение на сопряжённое выражение, правило Лопиталя и другие приёмы. Об этих случаях будем подробно говорить в следующих статьях.
Подробнее об основных элементарных функциях и их графиках - можно посмотреть здесь:
о производной функции и правилах дифференцирования - здесь:
Есть вопросы? Пожелания? Обращайтесь - контакты для связи