Предел функции

Предел функции —базовое понятие математического анализа, связанное с понятиями непрерывности, производной и интеграла функции. Но самое главное — это мощный инструмент для анализа явлений и процессов в реальном мире. Математическая модель процесса описывается некоторой функцией, а предел функции позволяет анализировать поведение функции в окрестности определенной точки и сделать выводы о ее свойствах и характеристиках. Например, с помощью предела анализируют производительность алгоритмов в информатике и рассчитывают нагрузки на несущие опоры мостов в строительстве.

Вспомним кратно что такое функция и аргумент:

Функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

В общем виде функция записывается так:

Общее обозначение числовой функции вещественного аргумента

здесь f — это функция, x — её аргумент, т.е. функция — это переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменений другой величины – своего аргумента х, а y — результат, получаемый при подстановке аргумента.

Таким образом, величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению. Проще всего разобраться в этом на примере.

Рассмотрим элементарную функцию – всем знакомую параболу, ветви вверх:

Парабола, вершина в начале координат, ветви вверх

Представим, что x стремится к числу 2, но не достигает его: 1,9; 1,99; 1,999;…1,99999.

Тогда y будет стремиться к 4: 3,61; 3,9601; 3,996001;…3,9999600001.

Число будет всё больше и больше, но никогда не достигнет числа 4, а только приблизится к нему.

Получается, что предел для функции при x, стремящемся к 2, равен 4.

Предел в математике обозначается символом lim:

В общем виде предел записывается в такой форме

Озвучиваем эту запись такими словами: для функции y = f(x) пределом называется такое число a, к которому приближается y при x, стремящемся к определённой точке x0. Стремление обозначается стрелкой.

Слово «стремится» означает, что переменная приближается к пределу на сколь угодно малую величину, но никогда не достигает его.

Пример 1: рассмотрим функцию – гиперболу и ее график

Мы видим, что чем больше становится значение x, тем ближе функция y = 4/x приближается к нулю, но при этом она никогда не достигнет его. То есть y не может стать равным 0.

Чтобы вычислить предел, во многих случаях достаточно подставить предельное значение в формулу, т.е. подставить в функцию значение, к которому стремится её аргумент

Пример 5: еще один интересный графический пример

И данная функция в нуле не определена, НО когда х приближается к нулю, значения функции становятся сколь угодно близкими к единице

Иными словами, предел функции в нуле равен 1:

Кстати, это так называемы первый замечательный предел – будем рассматривать более подробно в дальнейших материалах.

При возникновении неопределённостей, то есть отсутствия решения при подстановке числа, используются разные подходы: упрощение выражений с помощью деления многочленов на переменную в максимальной степени, умножение на сопряжённое выражение, правило Лопиталя и другие приёмы. Об этих случаях будем подробно говорить в следующих статьях.

Подробнее об основных элементарных функциях и их графиках - можно посмотреть здесь:

о производной функции и правилах дифференцирования - здесь:

Есть вопросы? Пожелания? Обращайтесь - контакты для связи