Математика ВУЗ

Понятие интеграла появилось из-за практической потребности решения задач измерения площади, объема, массы и других величин. Термин «интеграл» впервые введен Г.В. Лейбницем в конце XVII века, дальнейшее развитие теории связано с именами И.Ньютона, Ж.Лагранжа, О.Коши, Б.Римана и др. Интегральную сумму записываем как: Определенный интеграл представляет собой площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс (горизонтальная ось ОХ) и прямыми линями, параллельными оси ординат (вертикальной...

Точка х называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из ее односторонних пределов равен бесконечности, или не существует. Пример 1: исследовать функцию на непрерывность, указать тип разрыва, сделать схематический чертеж Найдем область определения данной функции Значит функция не определена в точке х=-2 – это точка разрыва. Определим тип разрыва – для этого рассмотрим односторонние пределы в окрестности точки разрыва Оба односторонних предела равны бесконечности с разными знаками – значит точка х=-2 является точкой разрыва второго рода...

Разберем алгоритм решения заданий с формулировкой: исследовать функцию на непрерывность и указать тип разрыва. Пример: Дана функция вида Эта функция на каждом промежутке области определения задается своей формулой. На первом промежутке имеем знак строгого неравенства на конце интервала, а также область определения исходной функции разделена на промежутки точкой x=2. Значит проверять непрерывность будем в этой точке x=2. Проверяем первое условие – существование функции в данной точке: Функция в точке х=2 определена (имеет конкретное числовое значение)...

Разберём понятие непрерывности функции, классификацию точек разрыва, а далее рассмотрим распространённую практическую задачу исследования функции на непрерывность. Что нужно знать и уметь? для качественного усвоения необходимо понимать, что такое предел функции и посмотреть геометрический смысл предела. Также желательно ознакомиться с графиками элементарных функций, поскольку практика предполагает построение чертежа. Рассмотрим некоторую функцию непрерывную на всей числовой прямой – то есть непрерывную...

Рассмотрим пределы, у которых предельное значение х стремится к бесконечности, функция под знаком предела есть дробь, причем числитель и знаменатель содержат степенные многочлены. Например, вычислим предел Согласно правилу, пытаемся подставить предельное значение х в функцию. Таким образом, у нас возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность Как решать пределы данного типа: такая неопределённость раскрывается делением числителя и знаменателя дроби на старшую степень степенного выражения...

Продолжаем разбирать на примерах с подробным решением раскрытие неопределённости типа нуль на нуль. Будем рассматривать выражения содержащие корни в числителе или знаменателе. Покажем, как можно преобразовать выражения чтобы избавится от возникающей неопределенности. Пример №1: вычислить предел вида Подставим в выражение значение предельной точки Теперь необходимо выполнить преобразования функции. В этом случае домножаем выражение, содержащее корни на сопряженное, и чтобы ничего не изменилось разделим...

При решении многих задач математического анализа (исследование функции на непрерывность, определение асимптот графика функции, исследование на сходимость несобственных интегралов первого и второго рода, исследование рядов и т.п.) возникает необходимость вычислять пределы. При этом появляются неопределенности различных видов – всего выделяют 7 типов неопределенностей: Разложим числитель и знаменатель на множители удобным способом. Работаем с числителем: Замечание: предельная точка обязательно будет корнем уравнения...