При решении многих задач математического анализа (исследование функции на непрерывность, определение асимптот графика функции, исследование на сходимость несобственных интегралов первого и второго рода, исследование рядов и т.п.) возникает необходимость вычислять пределы. При этом появляются неопределенности различных видов – всего выделяют 7 типов неопределенностей:
Разложим числитель и знаменатель на множители удобным способом.
Работаем с числителем:
Замечание: предельная точка обязательно будет корнем уравнения.
В знаменателе в данном примере удобно вынести общий множитель за скобки
Теперь подставляем полученные выражения в исходный предел и сокращаем подобные скобки:
Получено конечное значение предела – равное нулевому значению – значит в точке х=5 функция обращается в нуль
– что видим на чертеже, описывающем данный предел функции.
Используем разложения на множители из прошлого примера:
и подставляем полученные выражения в исходный предел и сокращаем подобные:
Получено бесконечное значение предела – значит в точке х=5 функция «уходит на бесконечность» – что видим на чертеже, описывающем данный предел функции
Замечание: в точке х=5 данная функция терпит разрыв и видим, что слева она «уходит на минус бесконечность» - график идет вниз, а справа – «на плюс бесконечность». Этот момент значим при исследовании функции и классификации точек разрыва и далее, в других статьях можем подробно рассмотреть односторонние пределы для подобных функций. Здесь же нашей задачей было рассмотреть алгоритм вычисления пределов подобного типа - осмысление и иллюстрация результатов решения.
В этих случаях неопределенностей не возникло, что видно и на рисунках, иллюстрирующих функции в точке х=0. В точке х=0 данные функции (пример 3 и пример 4) функции определены и разрывов не имеют.
В следующей статье рассмотрим раскрытие неопределенности второго типа
Подробнее о пределе функции - можно посмотреть здесь:
Исследование функции и построение графика