«Количество дробей равно количеству целых чисел.»
Когда мне это впервые сказали, мне потребовалось время, чтобы понять, о чём говорил мой учитель математики.
Конечно, поскольку между любыми двумя целыми числами существует бесконечное количество дробных чисел, дробей должно быть больше, чем целых чисел, верно?
Множество — это собрание объектов, оно определяется исключительно объектами в множестве, а не порядком их расположения.
Множества выполняют важную функцию в классификации объектов или элементов в математике. Определение равенства двух множеств требует достижения взаимно однозначного соответствия между множествами.
Взаимно однозначное соответствие — это связь между элементами двух множеств, при которой каждый элемент одного множества уникально соответствует одному элементу другого множества.
Если можно установить соответствие каждого элемента одного множества элементам другого множества без оставшихся элементов, то взаимно однозначное соответствие достигнуто.
Если можно сопоставить два множества, они считаются одинакового размера.
Этот метод доказательства равенства двух множеств иногда приводит к неинтуитивным результатам, например, к тому, что множества целых и натуральных чисел одинакового размера.
Бесконечности могут быть счётными или несчётными. Счётные бесконечности имеют взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел (1, 2, 3 и т. д.), например, множество целых чисел.
Это кажется невозможным на первый взгляд — в конце концов, целые числа включают все положительные и отрицательные числа, в то время как натуральные числа включают только положительные целые числа.
Поскольку мы можем установить соответствие (или взаимно однозначное соответствие) между целыми числами и натуральными числами, говорят, что эти множества равны по размеру.
Обе бесконечности одинакового размера, так что множество целых чисел счётно.
Несчётные бесконечности бесконечно больше счётных бесконечностей и не могут быть поставлены в взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, например, с действительными числами.
Хотя натуральных и действительных чисел бесконечно много, множества не равны по размеру. Бесконечность сама по себе не является числом — это концепция. Тот факт, что в двух множествах бесконечно много объектов, не означает, что эти множества равны.
Это можно показать на том факте, что мы не можем сопоставить элементы множества натуральных чисел и множества действительных чисел.
Немецкий математик Георг Кантор в конце XIX века показал, что существует множество бесконечностей — и некоторые из них просто больше других — используя свой диагональный аргумент.
Представьте, что у вас есть бесконечно длинный список действительных чисел, каждое из которых имеет бесконечно много десятичных знаков.
Вы можете создать новое число, взяв первую цифру из первого числа, вторую цифру из второго числа и так далее — n-я цифра в новом числе будет такой же, как n-я цифра n-го действительного числа в множестве.
Затем измените каждую цифру нового числа на дополнительную: например, 2 → 1, 3 → 2 и т. д.
Таким образом, вы гарантируете, что новое число будет иметь по крайней мере одну цифру, отличную от каждого числа в множестве, создавая уникальное число.
Этот процесс можно повторять бесконечно много раз, доказывая, что вы всегда можете генерировать уникальное действительное число из существующего множества.
Мы не можем сопоставить числа в множествах действительных чисел и натуральных чисел — бесконечность действительных чисел больше, чем бесконечность натуральных чисел.
Отель Гильберта
В 1924 году немецкий математик Давид Гильберт представил идею отеля с бесконечным количеством номеров — мысленный эксперимент, призванный продемонстрировать некоторые контринтуитивные свойства бесконечных множеств.
В этом эксперименте вы были менеджером отеля, задачей которого было распределить каждого гостя по номерам.
Если все номера были заняты, вы все равно могли освободить место для нового гостя, приказав каждому из уже проживающих гостей переехать из своего текущего номера n в номер n+1.
Повторяя эту процедуру, мы видим, что возможно освободить место для любого количества конечных гостей.
Если k новых гостей ищут номер, мы можем переместить каждого уже проживающего гостя в номер n + k.
Это показывает, что
∞ + k = ∞
так что множества одинакового размера.
Что, если у нас было бы бесконечное количество новых гостей, ищущих номер? Сначала это кажется более сложным — мы не можем попросить каждого уже проживающего гостя переехать на бесконечное количество номеров вниз.
Однако мы можем попросить каждого гостя переехать из своего номера n в номер 2n.
Все уже проживающие гости будут в четных номерах, оставляя все нечетные номера для новых гостей, что доказывает, что
∞ + ∞ = ∞
Это аналогично доказательству выше, показывающему, что множество целых чисел и множество натуральных чисел одинакового размера, хотя интуитивно кажется, что целых чисел должно быть вдвое больше, чем натуральных чисел.
Давайте добавим шаг к проблеме. Предположим, прибывает бесконечное количество автобусов, каждый из которых перевозит бесконечное количество новых гостей. Как разместить каждого нового гостя?
Мы можем использовать свойство простых чисел, чтобы предоставить каждому новому гостю номер.
Каждый уже проживающий гость из номера n переезжает в номер 2^n.
Затем мы отправляем гостей из первого автобуса в номер 3^i, где i — их позиция в автобусе, а гостей из второго автобуса — в номер 5^i.
Для гостей из автобуса номер j мы выделяем номера c^i, где c — (j+1)-е простое число (поскольку мы уже использовали степени 2 в качестве номеров для уже проживающих гостей).
Конечно, это оставляет много пустых номеров (все номера, которые не являются степенями простого числа), так что есть большая трата, например, номера 15 или 33.
Характеристики бесконечных собраний объектов существенно отличаются от характеристик конечных собраний, поэтому теория Кантора о бесконечных числах может быть использована для понимания математики, стоящей за отелем Гильберта.
Существует бесконечное количество бесконечностей разного размера. Математически мы можем представить кардинальное число натуральных чисел с помощью ℵ0, и долгое время считалось, что ℵ0 — это размер каждого бесконечного множества.
Кантор доказал, что разные бесконечные множества могут иметь разные кардинальности, и некоторые из них больше других. Бесконечность действительных чисел известна как ℵ1, что больше, чем кардинальное число натуральных чисел, как было показано ранее.
Помимо ℵ0 и ℵ1, существует бесконечное количество бесконечностей разного размера (представленных ℵ2, ℵ3 и т. д., каждое из которых имеет увеличивающуюся кардинальность). Хотя все они бесконечны, они не одинаковы.
