Степенная функция — это функция вида
f(x) = x^α, где x - переменная, α - константа, которая называется показателем степени Эта функция определяет, как значение х возведено в степень α.
Определение и базовые свойства.
Степенная функция может принимать
различные формы в зависимости от значения α:
- Если α - положительное целое число, функция представляет собой многочлен. Например, f(x) = x^2 или f(х) = x^3.
- Если α - отрицательное целое число, функция представляет собой гиперболу. Например, f(x) = x^(-1) или f(x) = x^(-2).
- Если α - дробное число, функция включает корни. Например, f(х) = х^(1/2) (квадратный корень из x) или f(x) = x^(2/3).
Примеры степенных функций:
1. Квадратичная функция f(х) = х^2:
- График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх,
- Функция определена для всех действительных чисел и принимает значения от 0 до бесконечности.
2. Обратная функция f(x) = х^(-1).
- График — гипербола с асимптотами, параллельными осям координат.
- Функция не определена в точке x = 0 и принимает положительные и отрицательные значения на разных интервалах x.
3. Корневая функция f(x) = х^(1/2):
- График представляет собой часть параболы, расположенную в первом квадранте.
- Функция определена только для неотрицательных значений х и принимает неотрицательные значения.
Свойства корневой функциии:
- Четность и нечетность:
Если α - четное число, функция f(х) = x^α является четной (симметричной относительно оси Oy).
Если нечетное, функция является нечетной (симметричной относительно начала координат).
- Монотонность:
Если α > 0, функция возрастает на интервале (0, oо).
Если α < 0, функция убывает на этом же интервале.
- Асимптоты:
Для некоторых степенных функций, таких как f(x) = х^(-1)‚ оси координат являюгся асимптотами.
Степенные функции — это важный класс функций в алгебре, который помогает понять различные математические паттерны и модели. Они широко используются в науке и инженерии для моделирования различных явлений. Понимание их свойств и поведения на графике позволяет глубже анализировать и решать практические задачи.
