Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примерах решений задач № 628 и № 629 из учебника по алгебре для 8-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского предлагаю вспомнить решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.
Условие задачи 628:
Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?
Решение:
Пусть скорость течения реки будет x км/ч. Тогда скорость движения моторной лодки по течению реки 15 + x км/ч, а скорость движения против течения 15 – x км/ч. Зная, что 35 км по течению реки моторная лодка проходит за то же время, за которое она же проходит 25 км против течения реки, составляем уравнение:
Общий знаменатель дробей (15 + x) (15 – x).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей.
Перенесём слагаемые с одинаковой буквенной частью в одну сторону уравнения: 25x
– из правой части уравнения в левую, а 525 перенесём из левой в правую. При этом помним, что согласно правилу переноса слагаемых из одной части уравнения в другую (§41 «Математики» А. Г. Мерзляк (6 класс)), знаки переносимых слагаемых меняются на противоположные:
– 35x – 25x = 375 – 525;
– 60x = – 150;
x = – 150 : ( – 60 );
x = 2,5 км/ч – скорость течения реки.
Ответ: скорость течения реки 2,5 км/ч.
Ответ легко проверить:
35 : (15 + 2,5) = 35 : 17,5 = 2 часа шла моторная лодка по течению.
25 : (15 – 2,5) = 25 : 12,5 = 2 шла моторная лодка против течения.
2,5 = 2,5.
Условие задачи 629:
Катер, развивающий скорость в стоячей воде 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.
Решение:
Пусть скорость течения реки будет x км/ч. Тогда скорость движения катера против течения реки 20 – x км/ч, а скорость движения по течению реки 20 + x км/ч. Зная, что на весь путь катер затратил 3 часа, составляем уравнение:
Общий знаменатель дробей (20 – x) (20 + x).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей.
В правой части уравнения мы воспользовались формулой произведения разности двух выражений и их суммы. Теперь раскроем скобки:
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, соблюдая правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую:
Мы получили квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом, поэтому для решения уравнения удобнее воспользоваться формулой II.
169 > 0, значит, уравнение имеет два корня.
Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.
Ответ легко проверить:
36 : (20 – 2) = 36 : 18 = 2 часа шёл катер против течения.
22 : (20 + 2) = 22 : 22 = 1 час шёл катер по течению.
2 + 1 = 3 часа затратил катер на весь путь.