Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примерах решений задачи № 630 и № 631 из учебника по алгебре для 8-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского предлагаю вспомнить решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.
Условие задачи 630:
В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли снизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли.
Решение:
Для решения задачи переведём данные её условия из граммов в килограммы.
100 г воды = 0,1 кг;
30 г соли = 0,03 кг.
Пусть первоначальная масса раствора будет x кг. Тогда масса нового раствора будет x + 0,1 кг. Процентное отношение соли к первоначальной массе раствора составляет
Процентное отношение соли к массе нового раствора составляет
Зная, что концентрация соли снизилась на 1%, составляем уравнение:
Общий знаменатель дробей x (x + 0,1).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, соблюдая правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую:
Мы получили квадратное уравнение с нечётным вторым коэффициентом, поэтому для решения уравнения удобнее воспользоваться формулой I.
1.21 > 0, значит, уравнение имеет два корня.
Ответ: первоначальная масса раствора – 500 г.
Проверим ответ, не переводя граммы в килограммы:
500 + 100 = 600 г стала масса раствора после того, как в него добавили 100 г воды;
(30 : 500) *100% = 0,06 * 100% = 6% концентрация соли в первоначальном растворе.
(30 : 600) *100% = 0,05 * 100% = 5% концентрация соли в новом растворе.
6% – 5% = 1%.
Условие задачи 631:
Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того, как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?
Решение:
Для решения задачи переведём данные её условия из граммов в килограммы.
40 г золота = 0,04 кг;
50 г соли = 0,05 кг.
Пусть первоначальная масса сплава будет x кг. Тогда масса нового сплава будет x + 0,05 кг, а золота в новом сплаве будет 0,04 + 0,05 кг. Процентное отношение золота к первоначальной массе сплава составляет
Процентное отношение золота к массе нового сплава составляет
Зная, что концентрация золота в сплаве повысилась на 20%, составляем уравнение:
Отсюда
Общий знаменатель дробей x (x + 0,05 ).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, соблюдая правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую:
Мы получили квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом, поэтому для решения уравнения удобнее воспользоваться формулой II.
Уравнение имеет один корень, так как дискриминант равен нулю и следовательно, квадратный корень из дискриминанта тоже равен нулю.
100 – 40 = 60 г серебра было в сплаве.
Ответ: в сплаве было 60 г серебра.
Ответ легко проверить:
40 от 100 – это 40%. После того, как к сплаву добавили 50 г золота масса сплава стала 150 г, а золота в нём – 90 г. 90 от 150 – это 60 %.
60 – 40 = 20%