В одном из эпизодов "Небесной полиции" франшизы "Симпсоны" Апу Нахасапимапетилон раскрыл, что учился в МИТ (Мумбайский институт тантрического секса, да, вы правильно прочитали!), где его завербовали в группу по счету карт. Он выиграл достаточно денег, чтобы купить поддельные результаты SAT, которые он использовал, чтобы поступить в более известный МИТ, который мы знаем и любим, Массачусетский технологический институт.
На одной из его лекций там он изучал довольно крутую математику. За исключением ошибки профессора…
Последняя строка, кажется, заключает, что
На доске 👨🏫
Чтобы понять математику в этом эпизоде "Симпсонов", давайте приведем математику в понятный вид.
Часть 1
Часть 2
Погружение в математику
Давайте попытаемся четко понять каждую строку.
Строка 1
Первое суммирование в первой строке суммирует все обратные значения 1 от 1/1 до 1/x, за исключением того, что x продолжается бесконечно.
Второе суммирование на самом деле является переформулировкой первого.
Термин 1/(2x-1) соответствует таким терминам, как 1/1, 1/3, 1/5, … Все они имеют нечетные знаменатели.
А термин 1/(2x) соответствует таким терминам, как 1/2, 1/4, 1/6, … Все они имеют четные знаменатели.
Третье суммирование объединяет дроби во втором суммировании вместе. Да, это так просто.
Строки 2, 3 и 4
Здесь пока ничего слишком загадочного или сложного нет. Это всего лишь базовая арифметика суммирования и манипуляции.
Теперь обратите внимание на то, что у нас есть сейчас.
Вот что у нас осталось.
Затем профессор аннулировал оба термина с 1/x, оставив нас с этим
И вот где началась загадка
Затем он упростил выражение и пришел к следующему выводу
Теперь вы можете думать, как что-то может равняться ничему? Это очевидно неверно!
Еще один спойлер: на самом деле сумма сходится к ln(2), натуральному логарифму двойки.
Простое объяснение
Гармонический ряд в начале является расходящимся, что означает, что сумма бесконечна. Это означает, что в строке, где профессор аннулировал суммирование, он обработал бесконечности как два конечных действительных числа!
Мы можем глубже погрузиться в объяснение, почему это не допускается. Но это правило подобно тому, как деление на ноль просто не определено в математике. Потому что если бы мы разрешили такие вещи, появились бы странные и парадоксальные явления, разрушающие эту красивую науку!
На эту тему мы упомянули как гармонический ряд, так и чередующийся гармонический ряд.
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … = ∞
1 -1/2 + 1/3 -1/4 + … = ln(2)
В строгой математике первый называется расходящимся рядом, потому что общая сумма увеличивается без ограничений. Он расходится до бесконечности.
Второй является сходящимся рядом, потому что общая сумма приближается к конечному значению по мере увеличения числа членов.
Если вы хотите узнать больше о них, подпишитесь на мою рассылку, чтобы быть в курсе самых интересных математических головоломок и историй!