Федор Богдановский выступал за ленинградский СКА. На Олимпиаду-1956 в Мельбурн поехал в ранге двукратного чемпиона Европы и двукратного серебряного призера чемпионатов мира.

В Австралии Богдановский выступил блестяще, зафиксировав в сумме троеборья 420 кг, что являлось мировым рекордом. При этом советский тяжелоатлет установил два олимпийских рекорда в жиме (132,5 кг) и толчке (165,0 кг).

После Олимпиады Богдановский еще дважды становился чемпионом Европы и дважды серебряным призером мировых первенств. В общей сложности с 1955 по 1959 год установил семь мировых рекордов.

Завершив выступления, перешел на тренерскую работу. За достигнутые на этом поприще результаты удостоился звания Заслуженный тренер РСФСР. Воспитал чемпиона мира - Павла Первушина.

Скончался 3 октября 2014 года в Санкт-Петербурге.