В качестве датчика Живых сил можно использовать обычную пружину с усилиями:
F=k*X, где примем к=1Н/м.
При налёте тела на пружину, её максимальное сжатие определяется из:
mvv/2=kXX/2, откуда
X=v*корень(m/k)……и...…v=X*корень(k/m).
Для наглядности в реальных числах примем m=1кг, и сразу зададимся Х=12метров, получающиеся при скорости v=12м/с.
Поставлена ЗАДАЧА – найти Время сжатия пружины, когда тело замедляется. Но привычнее рассматривать такое же время полного разжатия пружины от Х=12м (с аналогичным разгоном тела). К точному решению задачи мы вернёмся позднее, а сейчас применим численный итерационный метод сходимости к нему.
Сначала представим процесс разжатия двумя этапами (см. табл.1).
На первом этапе средняя сила f=9Н, и среднее ускорение a=f/m=9м/сс. Легко (по равноускоренной кинематике) найти скорость к перемещению S=6м:
vv=2aS=2*9*6, и время на это tt=2S/a=2*6/9.
Расчёты усложняются на втором этапе, когда скорость от 10,39м/с увеличивается с новым постоянным среднем ускорением 3м/сс на дополнительном пути 6метров. Можно считать тремя способами.
Первый. По прямой формуле:
S=(Vo*t)+(a*tt/2), что приводит к квадратному уравнению:
(3/2)tt+10,39t-6=0. Его решение (длительность второго этапа) t=0,536cек.
Второй способ позволяет не решать квадратное уравнение. Предположим, что скорость 10,39м/с тело набрало, изначально двигаясь с ускорением 3м/сс. На это ушёл бы путь s=10,39*10,39/(2*3)=17,99м, и время t=корень(2*17,99/3)=3,463с. На втором этапе телу надо пройти ещё плюс 6метров, т.е. S=17,99+6=23,99м. Полное время движения Т=корень(2*23,99/3)=3,999с. Поэтому длительность второго этапа:
3,999с-3,463с=0,536сек, как и выше.
Третий способ – воспользоваться полезной формулой (набора скорости) из Справочников:
VV=VoVo+2aS=10,39*10,39+2*3*6, откуда V=12м/с конечная скорость тела. При ускорении 3м/с скорость с 10,39м/с увеличилась до 12м/с за искомое время:
t=(12-10,39)/3=0,536сек, что совпадает с предыдущим. Анализ полученных (табл.1) Времён сделаем в заключении.
______________________________________
Теперь повысим точность численного эксперимента. Разжатие пружины будет происходить за 4этапа на малых приращениях по пути разгоняемого тела (см. табл.2).
Длительности каждого этапа, и к его концу набранные скорости тела – можно рассчитывать по любому вышеприведенному способу. Полученных данных достаточно для итогового анализа.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Если совсем оценочно решать задачу сжатия (разжатия) пружины, и «за раз» взять просто среднюю силу пружины 6ньютонов, то Время работы пружины составит:
Тоценочное=2*корень(m/k)=2*корень(1/1)=2сек.
При точном теоретическом решении (запись дифференциального уравнения Второго закона Ньютона, с математическими результатами в виде Косинуса и подобного) для разжатия пружины (как четверти периода колебаний горизонтального пружинного маятника) – Время работы пружины равно:
Тточное=(pi/2)*корень(m/k)=3,142/2=1,571сек.
А что показали применённые численные методы. По двум этапам (табл.1) суммарное время Тдва=1,691сек уже меньше грубой оценки 2секунды. При четырёх этапах (табл.2) суммарное время Тчетыре=1,611сек ещё ближе сходится к точному теоретическому значению 1,571секунды.
Возвращаясь собственно к пружинному датчику (совмещённо, Живых сил и Импульсов ударяющих тел) – для понимания его действия и смысла физического понятия Кинетической энергии – чтобы не отвлекаться на сложные уравнения обычной пружины – желательно использовать предварительно сжатую пружину (см. предыдущую статью «Сверх-проводника» о датчиках кин.энергии) с почти постоянной силой, при (равноускоренном) торможении измеряемых тел.