Сегодня не все после школы знакомы с понятием предела (lim). Для того, чтобы пользоваться ими, нужно множество действительных чисел дополнить еще двумя "особыми" числами-пределами: стремящееся к нулю и стремящееся к бесконечности. Пределы оформляются следующим образом:
Функция f(x)=-x при стремящемся к бесконечности x стремится к минус бесконечности, функция f(x)=x также при стремящемся к бесконечности x стремится к плюс бесконечности, любая из функций f(x)=-1/x или f(x)=1/x стремится к нулю, когда x стремится к бесконечности. Это довольно просто понять: всегда чем больше знаменатель, тем меньше результат, поэтому, если знаменатель совсем уж большой (бесконечность), то результат совсем маленький (почти ноль).
Предел можно рассматривать не при бесконечном x, а также при любом другом. При x, стремящемся к 0:
В этих примерах результат тем больше, чем меньше знаменатель, при очень маленьком числе в знаменателе (почти ноль) результат будет очень большим (бесконечность или минус бесконечность, в зависимости от знака этого маленького числа в знаменателе).
Мы здесь продвигаемся семимильными шагами и рассмотрим теперь более сложное выражение:
Мы вынесли x за скобку и теперь сократим ее (так нельзя делать, если x=0, но вполне можно, если x лишь стремится к нулю):
В последнем выражении слагаемое -5/x в знаменателе стремится к минус бесконечности, так что единица по сравнению с этим слагаемым ничтожна. С другой стороны, в числителе слагаемое x, стремящееся к нулю, ничтожно мало по сравнению с единицей:
Важно заметить: под знаком предела можно спокойно вычеркивать ничтожно малое, если оно складывается с бесконечно большим. Давайте рассмотрим еще один вполне определенный случай:
Переменную x, стремящуюся к нулю, можем сократить:
Здесь 1/x гораздо больше единицы в числителе и 5 гораздо больше x в знаменателе, поэтому:
В последних двух случаях все было понятно: либо числитель гораздо быстрее знаменателя увеличивается (второй случай), либо наоборот (первый случай). Однако есть ситуации, в которых одновременно и числитель и знаменатель стремятся к нулю или к бесконечности, в таких случаях говорят, что возникла неопределенность (0 на 0 или бесконечность на бесконечность, соответственно). В таким случаях нужно всегда разобраться, что стремится к нулю (или к бесконечности) быстрее. Сама задача "понять, что быстрее" отсылается нас к смыслу производной, которая определяет скорость изменения функции. Есть способ, аналогичный рассмотренному выше, но можно использовать правило Лопиталя, заключающееся в том, что под знаком предела дробь можно заменить на дробь с производной числителя исходной дроби в числителе и с производной знаменателя исходной дроби в знаменателе.
В этой записи мы отметили, что столкнулись с неопределенностью 0 на 0 и решили взять производные от числителя и от знаменателя. Продолжим.
Посля взятия производных все равно осталась небольшая неясность, можно было бы вынести за скобку x и повычеркивать незначительные слагаемые, но, раз мы взялись использовать правило Лопиталя, почему бы не продолжить в том же духе:
Когда в выражении под пределом в результате преобразования пропадает исследуемая переменная, знак предела просто опускается, потому что обнаружен ответ. Такое же правило применяется для неопределенности бесконечность на бесконечность.
В общем-то почти все. Всякие другие неопределенности сводятся к неопределенности 0 на 0, после чего упрощаются по правилу Лопиталя столько раз, сколько нужно. Ниже правила сведения разных неопределенностей к неопределенности 0 на 0. Можно еще свести к бесконечности на бесконечность, но это просто другой путь, ведущий к такому же результату.
Если есть неточности в статье, пишите, буду исправлять. И подписывайтесь на мой физико-математический канал:)
