Наиболее простыми двумерными геометрическими объектами, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни, являются треугольник, квадрат, круг, и другие, но поговорим о круге.
Для любого круга есть один и тот же коэффициент пропорциональности (число π) между длиной окружности и диаметром. Чтобы найти длину окружности l по известному диаметру d, нужно диаметр d умножить на число π, а чтобы найти диаметр d по известной длине окружности l, нужно длину окружности l разделить на число π. Если я вас запутал, то вот резюме: число π есть отношение длины окружности к диаметру. Длина окружности диаметром 1 метр будет равна π метрам.
Но само число π абсолютно точно не может быть известно (скорее всего), поскольку является иррациональным. С определенной точностью его находят самыми разными способами, а мы попробуем один из самых прямых вариантов: вычислить отношение длины окружности к диаметру. Возьмем для ясности окружность с диаметром, равным единице. Тогда длина окружности будет равна числу π, и чем точнее мы вычислим длину этой окружности, тем ближе будем к истинному значению числа π.
На рисунке 1 изображена сама окружность, разбитая на четыре равные секции, зеленые линии являются диаметрами, каждая половина зеленой линии равна 0.5, а красные линии соединяют точки разбиения и каждый отрезок вычисляется по формуле Пифагора и равен √2/2. Этот получившийся квадрат есть первое приближение к окружности, а его периметр, равный 2√2=2.828 есть первое приближение числа π (в нашем варианте приближения к числу π). Первое приближение получилось очень грубым (почти 10%-я ошибка).
Стороны квадрата (красные линии на рисунке 1) можно также вычислить, разбив каждый из получившихся 4-х одинаковых треугольников бисектрисой из центра окружности на два одинаковых прямоугольных треугольника, тогда каждая сторона квадрата равна sin(180/4) = √2/2, а периметр квадрата равен 2√2, как и в предыдущем способе вычисления. Этот второй способ вычисления периметра немного сложнее, но будет удобнее при увеличении сторон многоугольника.
Удвоим количество точек на окружности (рисунок 2). Если соединить все вершины на рисунке 2, получим восьмиугольник, периметр которого равен 8*sin(180/8)=3.061. Мы можем и дальше удваивать разбиение окружности, получая результат, все более близкий к истинному числу π. В таблице ниже приведено несколько шагов, в таблице первый столбец показывает число разбиений, второй содержит результат (периметр многоугольника по соответствующему разбиению), а в третьем столбце приведена ошибка относительно табличного значения числа π в процентах.
Здесь мы находим число π, используя синус, что, вообще говоря, требует знания более сложной тригонометрической функции. Если интересно, можем рассмотреть пределы более простых рядов. Может быть, их не получится так просто связать с длиной окружности, но они используются для нахождения числа π математиками.
Этот предел к числу π рассмотрен по просьбе подписчика, подписывайтесь, оставляйте комментарии, буду рад пообщаться:).
