Сегодня попалась довольно интересная задача. Приведут её здесь без изменения, но с разбором.
На изображённой решётке расстояние между соседними точками по вертикали и горизонтали равно 1 см. Сколько существует отрезков длины 5 см с концами в точках решетки?
Ответ, как обычно, вы найдёте ниже
↓
↓
↓
Итак, давайте попробуем последовательно разобраться с этой задачей.
Наиболее просто найти 12 отрезков – они получаются, если провести 6 вертикальных и 6 горизонтальных отрезков в решётке:
И может показаться, что всё – больше здесь отрезков длиной 5 см с концами в точках решётки нет. Но нет, они есть, и ещё довольно много! А чтобы найти их, нужно вспомнить о такой вещи, как египетский треугольник.
Если не вдаваться в лишние подробности, то египетский треугольник – это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3 : 4 : 5. И в нашей решётке 6х6 мы можем построить сразу множество таких треугольников. Но чтобы найти их все, достаточно нарисовать максимальное количество треугольников с одинаковой ориентацией гипотенуз, а затем получить ещё три варианта поворотом решётки на 90° и зеркальным отражением. Получится примерно такая картина:
Итак, посмотрим на верхнюю левую решётку. Для удобства обозначим здесь только два треугольника в углах, а затем просто проведём ряд параллельных гипотенуз. Здесь читатель может запротестовать, что каждая гипотенуза пересекает только две точки – в своих концах. Но это полностью удовлетворяет условиям задачи – просто прочтите её ещё раз.
Всего таким образом мы можем провести 6 х 4 = 24 отрезка, и плюс 12 горизонтальных и вертикальных – итого 36 отрезков.
Таким образом, следуя условиям задачи, мы можем провести 36 отрезков длиной 5 см с концами в точках решётки.