Что есть интеграл?

Понятие интеграла можно ввести как расширение понятия суммы. Только сумма дискретна, а интеграл - это непрерывный оператор. Есть некоторый парадокс: интегралы могут вводиться как обобщение понятия суммы, но для вычисления интегралов на компьютере приходится возвращаться к дискретным конечным суммам.

Снимок из фильма "Приключения электроника", эпизод "Привет, интригал!".

В математике интеграл (или точнее первообразная) и производная являются противоположными по действию операторами (но не взаимнооднозначными). Если найти для некоторой функции f(t) первообразную по переменной t, а затем от полученной первообразной F(t) взять производную по переменной t, то получится исходная функция f(t). Но если от некоторой функции G(t) взять производную, то первообразная Q(t) от полученной функции g(t) будет определена с точностью до константы и исходная функция G(t) восстановлена не будет. G(t) будет частным случаем функции Q(t).

Возможно, читателю было непросто до сих пор, давайте рассмотрим конкретный пример, где понятие интеграла возникает очень естественно: допустим, мы пока не знаем формулу площади круга. Для простоты рассмотрим круг с радиусом r=1 и поместим его в начало координат. Такой круг ограничивается окружностью, описываемой простым квадратичным уравнением x^2 + y^2 = 1. Чтобы искать площадь, удобно выразить одну переменную через другую: y=+-sqrt(1-x^2), где sqrt(...) означает квадратный корень.

Рисунок 1. Единичная окружность, представленная двузначной функцией f(x) = +- sqrt(1 - x^2). Знаку плюс отвечается фиолетовая линия, а знаку минус - зеленая линия.

Всем очевидно, что круг состоит из двух одинаковых полукругов, поэтому найдем площадь верхнего полукруга, который должен быть равен pi/2.

Рисунок 2. Линейная аппроксимация окружности на двух интервалах.

Площадь треугольника, ограниченного ломаной черной линией и осью абсцисс (переменная x), равна единице, гораздо меньше (с ошибкой примерно 36%) площади полуокружности.

Рисунок 3. Линейная аппроксимация окружности на трех интервалах.

Площадь трапеции, ограниченной ломаной черной линией и осью абсцисс (переменная x), равна примерно величине 1.26 (ошибка почти 20%).

Рисунок 4. Линейная аппроксимация окружности на 11-ти интервалах.

Сумма 9 трапеций и двух треугольников, полученных на 10 итерации (рисунок 4) дает ошибку меньше 3%. Чтобы ошибка стала меньше 1% нужно разбить интервал на 23 части, для достижения точности выше 0.1% интервал придется разбить на 104 части. Ошибка становится меньше 0.01% при разбиении интервала на 484 части, а меньше 0.001% при разбиении интервала на 2316 частей и т.д.

К чему это мы? Чем больше частей, на которые разбивается интервал, тем точнее получается результат, не будем вдаваться в подробности, но в математике можно разбить этот интервал на бесконечное количество частей. Тогда каждая часть будет бесконечно малой, но их сумма будет точной площадью. Такая сумма с бесконечным количеством частей и есть интеграл, равный половине числа пи.

Подписывайтесь, если интересны физика и математика.