Производная наиболее естественно возникает во многих реальных задачах.
Водители автомобилей для безопасного движения должны правильно выбирать скоростной режим, для этого они пользуются спидометром. Спидометр в автомобиле обычно вычисляет скорость напрямую, но если говорить про навигатор на смартфоне, то скорость оценивается как отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь был пройден. Чем меньше время, на котором оценивается путь, тем ближе скорость на спидометре к мгновенной. Фраза автомобиль движется со скорость 60 км/ч означает, что каждый час он будет проезжать 60 км (при условии постоянства скорости). На практике скорость постоянной бывает очень недолго, а охарактеризовать изменение скорости можно с помощью ускорения, которое к изменению скорости имеет такое же отношение, как скорость к изменению пути. Ускорением называют скорость изменения скорости. Способность автомобиля ускоряться выражается в характеристике "время разгона до 100 км/ч". Если автомобиль может разогнаться до 100 км/ч (примерно 27,777 м/с) за 3 секунды, его "усредненное" ускорение на скоростях от 0 до 100 км/ч примерно составляет 27.777/3 = 9.259 м/с^2 (метров на секунду в квадрате). Это означает, что за каждую секунду скорость (в среднем) увеличивается на 9.259 метров в секунду, а еще это означает, что водитель и пассажиры при таком ускорении будут ощущать перегруз почти в одну величину g (ускорение свободного падения).
Если коммунальная служба обнаружила хороший подземный источник воды, нужно выбрать насос подходящей мощности, чтобы обеспечить всех подключенных к скважине достаточным количеством воды. Производительность насоса определяется как отношение объема воды к промежутку времени, за которое эта вода может быть доставлена наверх. В идеале нужно учитывать сопротивление водопроводной системы, за счет которого реальная производительность снижается. Производительность 1 куб.м./мин означает, что каждую минуту насос поднимает 1 кубический метр воды.
Думаю, каждый из читателей может без труда найти примеры, где важно оценить, с какой скоростью изменяется некоторая величина. Важно отметить, что физический смысл, который, обычно, связывается с тем, как изменяется некоторая величина за некоторый промежуток времени, обобщается на задачи, в которых существует зависимость между двумя любыми величинами (не только от времени). Например, если некоторый газ находится в замкнутом объеме (изохорный процесс), его объем и количество определяют константу ("скорость") в зависимости между температурой и давлением.
В последнем выражении дробь перед изменением давления и есть "скорость" изменения температуры относительно давления. Если объем газа меньше, то изменение давления "медленнее влияет" на температуру. Но чем меньше концентрация газа, тем сильнее изменение давления влияет на температуру. Но вернемся к расстояниям, скоростям и ускорениям.
Идея уравнений движения в том, что уравнение координаты от времени однозначно определяет движение. Оператор производной позволяет по уравнению для координаты найти также уравнения зависимости скорости и ускорения от времени. На рисунке приведены зависимости координаты, скорости и ускорения для самого простого случая, когда координата не изменяется (покой). Производный от константы равны нулю, так что и скорость с ускорением также равны нулю.
Кстати, если бы нам сообщили только уравнение для скорости, мы бы знали только то, что тело покоится, но не знали бы в какой точке. Если же мы бы знали только уравнение для ускорения, мы бы знали, что тело не ускоряется (и не замедляется), но не знали бы покоится оно, или движется с какой-то скорость. Также в этом случае мы бы не знали, где в какой момент находится тело. Эти факты говорят о неоднозначности обратной дифференцированию операции - интегрированию, все дело в том, что дифференцирование (нахождение производной) приводит к потере информации.
Следующий по сложности (но тоже очень простой) случай движения - равномерное движение (рисунок 2). В таком случае координата тела изменяется по линейному закону. Производная линейной функции равна константе, и скорость в случае равномерного движения равна константе. Ускорение равно нулю, тело не изменяет скорости, движется с постоянной скоростью. Это означает, что за одинаковые промежутки времени тело проходит одинаковые отрезки пути, сколько бы мы за ним не наблюдали.
Равноускоренное движение (рисунок 3) подразумевает равномерное увеличение скорости тела. В результате равномерного увеличения скорости тело все быстрее (с течением времени) изменяет свое положение. Зависимость ускорения от времени при этом остается постоянной, но ускорение становится отличным от нуля.
Равнозамедленное движение (рисунок 4) часто называют равноускоренным (с отрицательным ускорением), уравнение движения отличается только знаком перед квадратом времени (по сравнению со случаем на рисунке 3).
При изучении физики в школе практически не упоминается, что ускорение тоже может быть изменчивым и то, что в базовых примерах уравнения для скорости и ускорения всегда проще уравнения для координаты - далеко на правило, а скорее исключение (только для степенных функций). На рисунке 4 приведено вымышленное уравнение движения, при котором тело сначала ускоряется, затем замедляется и в конце концов все медленнее изменяет свою скорость. Чем-то похоже на движение от одного светофора до другого в городе:)
Подписывайтесь и оставляйте комментарии, если есть пожелания или замечания.
