В нелинейной динамике под стационарностью понимают неизменность статистических характеристик, это понятие здесь обсудим подробнее. Рассмотрим поведение генератора хаотических колебаний Анищенко-Астахова, начиная с некоторых произвольных начальных условий.
На рисунке 1 изображена проекция фазового портрета генератора Анищенко-Астахова на плоскость первых двух переменных. Цвет фазовой траектории зависит от системного времени, так что в начале траектория темная и становится светлее по мере интегрирования. Видно, что в начальные состояния траектория больше не возвращается, что косвенно говорит о нестационарности процесса в начале.
На рисунке 2 мы отбросили первые 50 единиц времени и все равно на рисунке присутствует часть траектории, в которую нет возвратов.
Наконец, если начинать с момента времени t=80, траектория возвращается в ближайшие окрестности своих предыдущих состояний и мы имеем только классический странный хаотический аттрактор. Вот этот аттрактор с точки зрения специалистов в нелинейной динамике является стационарным. Посмотрим на поведение модели немного с другой стороны.
На рисунке 4 приведена временная реализация переменной x генератора Анищенко-Астахова. Видно, что в самом начале (t<80) колебания выглядят иначе, чем впоследствие. Но измерять "на глаз" не очень хорошо, да и затруднительно, когда речь идет о масштабных исследованиях. Как можно определить время, за которое колебания становятся стационарными? Рассчитаем среднее значение переменной x, которое составляет -0.0001863 для реализации, приведенной на рисунке 4. Это среднее включает в себя нестационарную часть, поэтому рассмотрим средние значения в плавающем окне разного размера.
Если взять окно довольно маленьким (рисунок 5), колебания средней величины и остальные статистические характеристики будут сильно отражать динамику самой переменной x. Маленьким окно следует считать как раз по этой причине, мгновенные колебания переменной x не должны сильно отражаться на усредненных характеристиках. На графике на рисунке 5 отражены оконные функции для среднего значения x, среднеквадратичного отклонения sigma и коэффициента асимметрии skewness и коэффициента эксцесса kurtosis, рассчитанные по формулам, представленным ниже.
Увеличим окно в 2 раза и получим значительное увеличение разницы между статистическими величинами при t<100 и их значениями при t>100 (сравните рисунки 5 и 6). Такой подход не лишен недостатка, его сложно использовать для отсеивания нестационарного процесса, поскольку нужно контролировать размер окна и каким-то образом определять допустимые величины разбросов для каждой из характеристик. Рассмотрим другой вариант: будем вычислять статистические характеристики в постоянно уменьшающемся окне, каждый раз сдвигая окно в конец реализации. Такой метод оправдывает себя по той причине, что переходные процессы динамических систем всегда располагаются в некотором интервале времени в начале траектории.
Результаты вычисления показывают, что при t<70 поведение всех характеристик изменяется, а при t>70 среднее значение <x> не выходит за фиксированный интервал, периодически достигая границ (связано с нецелым количеством характерных времен, помещенных в окне, в котором выполняется расчет характеристик). Остальные характеристики (sigma, skewness и kurtosis) также все меньше изменяются и изменяются в малых пределах при t>70. Значит, для выделения стационарной части процесса достаточно установить, когда статистические характеристики несколько раз приблизятся к одним и тем же экстремальным значениям. Полученный результат хорошо согласуется с результатами наблюдений за фазовым портретом и временными реализациями.
В этой статье мы рассмотрели возможности оконных статистических характеристик при отсеивании переходного процесса. Если интересны подобные разборы, подписывайтесь, оставляйте комментарии.