В чем заключается метод интервалов для решения неравенств?

Метод интервалов - это один из способов решения неравенств. Он основан на разбиении числовой прямой на интервалы и последующем определении, на каких из этих интервалов выполняется неравенство.

Давайте рассмотрим пример:

Решим неравенство 2x^2 - 3x - 2 > 0.

1.Приведем неравенство к каноническому виду

Наше неравенство уже в каноническом виду, так как все члены расположены по убыванию степеней x и справа от знака неравенства стоит 0.

2.Найдем корни уравнения, полученного из неравенства заменой знака ">" на "="

2x^2 - 3x - 2 = 0

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по формуле x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a. Здесь a = 2, b = -3, c = -2.

x1,2 = [3 ± sqrt((-3)^2 - 4*2*(-2))] / 2*2 = [3 ± sqrt(9 + 16)] / 4 = [3 ± sqrt(25)] / 4 = [3 ± 5] / 4

Получаем два корня: x1 = 2 и x2 = -1/2.

3.Разобьем числовую прямую на интервалы с помощью найденных корней

Интервалы: (-∞, -1/2), (-1/2, 2), (2, +∞).

4.Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в неравенство

Из первого интервала возьмем, например, -1, из второго - 0, из третьего - 3.

Подставим -1: 2*(-1)^2 - 3*(-1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0. Значит, на интервале (-∞, -1/2) неравенство выполняется.

Подставим 0: 2*0^2 - 3*0 - 2 = -2 < 0. Значит, на интервале (-1/2, 2) неравенство не выполняется.

Подставим 3: 2*3^2 - 3*3 - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0. Значит, на интервале (2, +∞) неравенство выполняется.

5. Запишем ответ

Решением неравенства являются интервалы (-∞, -1/2) и (2, +∞).

Таким образом, метод интервалов позволяет найти решение неравенства, разбив числовую прямую на интервалы и проверяя, на каких из них выполняется неравенство.