Нормальное и аномальное распределения случайной величины

В статье ""Качество" случайных чисел" мы рассмотрели характеристики источника равномерного белого некоррелированного шума и сравнили два различных источника. В продолжение в статье "Вероятностные распределения случайных величин" было проведено сравнение основных характеристик для нормального и равномерного источников шума. Здесь мы поговорим о полетах Леви. Так называют процессы с независимыми приращениями, изменение которых в будущем не зависит от состояний в прошлом. Частным случаем шума Леви является белый гауссовский некоррелированный шум, рассмотренный в предыдущей статье. Модельный процесс Леви управляется тремя параметрами (или четырьмя, если рассматривать постоянное смещение за параметр). Параметр α определяет "тяжесть хвостов" в распределении вероятности. В случае α=2 шум Леви является нормальным и его распределение описывает функцией Гаусса. Если уменьшать параметр α, то увеличивается "тяжесть хвостов" в распределении вероятности. Параметр σ косвенно определяет интенсивность шума и в случае α=2 задает среднеквадратичное отклонение значений, выдаваемых источником шума. Наконец, параметр β регулирует симметричность распределения значений источника шума. В случае β=0 распределение симметричное относительно вертикальной оси (если нет смещения), в случае β<0 (только если α<2) распределение "заваливается" вправо, а в случае β>0 (только если α<2) — влево. Ниже на рисунках показано влияние различных параметров на спектры и распределения (автокорреляции во всех случаях представляют собой функцию, спадающую сразу после первого шага до нуля, поэтому она не показана).

Рисунок 1. Распределения вероятности значений источника шума Леви при α=2, β=0 и различных значениях σ.

На рисунках 1, 3 и 4 мы видим, что параметр σ определяет выраженность максимума в распределении и его ширину. Спектры (рисунок 2) при этом имеют максимальный уровень по амплитуды в случае σ=2, что подтверждает изменение интенсивности шума.

Рисунок 5. Распределения вероятности значений источника шума Леви при σ=1, β=0 и различных значениях α.

Изменение параметра α приводит к расползанию распределения вероятностей и возникновению значений шума большой величины (рисунок 5). Наличие в источнике шума значений большой величины приводит к увеличению интенсивности шума в среднем (рисунок 6).

Рисунок 7. Распределения вероятности значений источника шума Леви при σ=1, α=2 и различных значениях β.

Параметр β не влияет на распределение и спектр в случае α=2 (рисунки 7 и 8).

Рисунок 9. Распределения вероятности значений источника шума Леви при σ=1, α=1.9 и различных значениях β.

При уменьшении параметра α параметр β изменяет распределение так, что источник шума чаще генерирует положительные значения при отрицательных значениях параметра β и наоборот (рисунок 9). Сравнение спектров при α=1.9 не выявляет влияния параметра β на интенсивность шума (если интересно, могу посчитать спектры для разных β при меньших фиксированных α).

Рисунок 11. Распределения вероятности значений источника шума Леви при σ=1, α=2 и различных значениях β.

В случае α=2 параметр β не оказывает влияния на распределение значений источника шума (рисунок 11). Уменьшение α приводит к тому, что параметр β искажает форму распредения, и чем меньше параметр α, тем большее влияние оказывает параметр β на распределение.

p.s. Полную программу для исследования шума можете скачать на сайте кафедры радиофизики и нелинейной динамике СГУ.

p. s. Чтобы сразу увидеть новый материал в моем блоге в своей ленте, подписывайтесь! Буду рад комментариям, вопросам, предложениям.