В комментариях мне пришёл любопытный и обстоятельный вопрос о том можно ли для параболы определить некий угол, который в пределе образуют "рога" параболы.
Не подскажите, почему не могу найти в интернете понятий "угол параболы" , "вершина угла параболы". Они есть вообще?? Ведь парабола может быть уже и шире, в пределах от 180° до 0° , в зависимости от величины коэффициента "а". Значит, для каждой параболы есть свой предельный угол параболы, который образуют ветви параболы; а есть угол, есть и его вершина с абсолютно точными координатами!
На поставленные вопросы можно взглянуть с разных позиций: аналитической, алгебраической и геометрической. Мне показалось полезным дать развёрнутый ответ, выходящий за пределы простого комментария.
Аналитический взгляд
С аналитической точки зрения ответ практически очевиден. Наклон кривой в некоторой точке выражается производной функции, которая задаёт график этой кривой. У параболы в каноническом виде y = ax² + bx + c производная линейна, а значит, она не ограничена ни сверху, ни снизу, и может достигать сколь угодно больших значений. При этом угол наклона касательной, то есть арктангенс коэффициента 2a, будет стремиться к ±90° по мере удаления от начала координат.
На другие вопросы, указанные на картинке, ответить алгебраически тоже несложно:
Все эти нехитрые формулы говорят о том, что ветви параболы неограниченно расходятся вширь, и при этом становятся неограниченно круче. С этим графиком можно поиграть тут.
Геометрический взгляд
А теперь давайте перейдём от аналитики к геометрии. Геометрически парабола определяется через некоторую точку (фокус) и не проходящую через неё прямую (директрису). Параболой называется геометрическое место точек равноудалëнных от фокуса и от директрисы.
Это определение можно переформулировать так: парабола — это геометрическое место центров окружностей, имеющих общую точку (фокус) и общую касательную (директрису). Рисунок показывает пример таких окружностей и соответствующую им параболу.
Если мы предположим, что ветви параболы стремятся к какому-то предельному углу по отношению к директрисе, то на достаточно большом масштабе они будут асимптотически приближаться к некоторым прямым (асимптотам).
И здесь достаточно предъявить единственный пример трёх окружностей, с центрами, принадлежащими прямой и общей касательной, но не проходящих через одну точку, чтобы доказать, что такое асимптотическое поведение не сможет гарантировать основного свойства параболы. Рисунок приводит множество таких контрпримеров.
Есть ещё одно интересное и полезное геометрическое или даже оптическое свойство параболы: фокусировать в одной точке при отражении параллельные лучи, перпендикулярные директрисе. Оно тоже не сможет сохраниться, если ветви параболического зеркала перестанут изгибаться и будут стремиться к прямым. В таком случае отражённые от кривой параллельные лучи будут асимптотически тоже приближаться к параллельности и не смогут пересекаться в одной точке.
Эти соображения интересны тем, что они относятся к произвольно ориентированной параболе, как к кривой, а не как к графику какой-то конкретной функции.
Проективный взгляд
Параболы принадлежат семейству кривых второго порядка, или квадрикам, к которым относятся также гиперболы и эллипсы. Гиперболы имеют асимптоты, и они прекрасно соответствуют геометрическому месту точек, для которых постоянной является разность между расстояниями до двух точек, называемых фокусами. Это приводит к тому, что угол между любыми двумя касательными к одной ветви гиперболы не может быть больше некоторого предельного значения.
Эллипсы никаким асимптотическим поведением не обладают, и угол между любыми двумя касательными к эллипсу может принимать любое значение от 0 до 180°.
Параболы занимают промежуточное положение между гиперболами и эллипсами, являясь предельными вырожденными случаями для обоих этих классов кривых. Можно сказать, что парабола является одновременно и особым случаем эллипса и особым случаем гиперболы.
Из эллипса можно получить параболу, если один из его фокусов удалять на бесконечность (сохраняя одну полуось, другую увеличивать неограниченно). При этом, у любого эллипса предельный угол между любыми двумя касательными будет стремиться к 180° (две параллельные касательные, направленные вдоль эллипса в разные стороны). Это же свойство сохраняет и парабола, как частный случай эллипса.
С другой стороны, гипербола тоже превращается в параболу, когда один из еë фокусов уходит на бесконечность, при этом асимптоты становятся параллельны, а вторая ветвь исчезает "за горизонтом". У любой гиперболы углы между касательными к любым двум точкам ограничены сверху углом между асимптотами. Таким образом, когда гипербола вырождается в параболу, то предельный угол между любыми касательными становится развёрнутым, то есть 180°.
Особенно очевидным это положение парабол в классе квадрик становится в полярном представлении кривых второго порядка.
На анимации видно, как эллипс, по мере удаления второго фокуса, становится всё больше похожим на параболу и, наконец, превращается в неё, переходя к гиперболе. С другой стороны, и гипербола, при удаляющемся фокусе, тоже проходит через параболу, превращаясь в эллипс. При этом угол между асимптотами гиперболы становится всё большим, достигая в пределе 180°, как и полагается параболе.
Здесь можно поэкспериментировать с таким представлением кривых второго порядка и их асимптотами.
Делаем бесконечность обозримой
Напоследок, я хочу продемонстрировать поведение предельных углов кривых второго порядка нетривиальным, но весьма выразительным образом.
Проективные преобразования не изменяют углы между прямыми или касательными к кривым. Это относит их к широкому классу конформных отображений. Среди таких отображений плоскости есть полезное и интересное отображение инверсии, которое оставляет без изменения некоторую выделенную окружность, но оставляет прочие окружности окружностями, либо отображает их в прямые и наоборот. Нам от инверсии понадобится два еë свойства: оно конформно, то есть не изменяет углы, а ещё оно отображает идеальную прямую (линию горизонта) в точку. Таким образом мы можем увидеть под каким углом подходят к линии горизонта, то есть к бесконечности интересующие нас кривые.
Для квадрик, описываемых в полярных координатах, инверсия отображает фокус в горизонт и наоборот. Вот как ведут себя инвертированные квадрики:
Присмотритесь к тому, что происходит в окрестности инверсии горизонта, то есть, в районе неподвижной точки. Эллипсы к горизонту не приближаются, тогда как ветви гиперболы пересекают его крестообразно. Это пересечение и показывает под каким углом ветви гиперболы "достигают" горизонта. Парабола (сиреневая кривая) при инверсии превращается в кардиоиду и мы можем увидеть, что к горизонту еë ветви подходят образуя друг с другом угол в 180°. Инверсия явно показывает как парабола становится переходом между эллипсом и гиперболой.
Поиграть с этими кривыми можно тут.
* * *
Может показаться, что я палил из пушки по воробьям, перебирая различные свойства парабол и различные их представления, но такое пристальное разглядывание чего-то кажущегося простым, полезно для, выработки целостного математического мышления.
