Значительная доля известных технологий относится к измерениям. В подтверждение тому скажу, что почти 7 млн патентов из 153 млн (на 12.02.2024 по данным lens.org) относится к классу G01 (Измерение; испытание). В классе G01 на 2024 год есть 18 подклассов (приведены в конце статьи), каждый из которых закрывает большое направление технологий измерения и включает в себя дерево групп и подгрупп. При измерениях неизбежно приходится исследовать проблему погрешностей, поскольку абсолютно точных измерений не бывает.
Причины и классификация погрешностей
В основе любого измерения лежит какой-то закон, который может быть выражен математически. То есть, под каждое измерение создается математическая модель, чаще всего очень простая. Например, для напольных весов можно использовать закон Гука о деформации упругих тел под действием силы тяжести. Однако любая математическая модель описывает изучаемый объект приближенно, с учетом основных, наиболее существенных факторов. Если модель не включает абсолютно всех факторов, влияющих на измерение, погрешность неизбежна. Кроме того, даже если модель построена очень хорошо, параметры модели задаются с определенной конечной точностью, так что отсюда возникает дополнительная ошибка. Если модель достаточно сложная, то для решения математической задачи приходится использовать численный алгоритм. Численные методы чаще всего включают в себя некоторую ненулевую методическую ошибку. Реализация численного метода чаще всего в настоящее время выполняется с помощью вычислительной техники, которая всегда работает в условиях ограниченной точности.
Таким образом, погрешности происходят практически всегда, и чаще всего источников погрешности несколько. Если измерения дают при повторе почти одно и то же значение (с очень маленьким разбросом), из называют прецизионными (high precision по-английски). Если измерения всегда находятся вблизи истинного значения измеряемой величины, то измерения называют точными (accurate по-английски). Измерения могут быть точными (accurate), но непрецизионными, и наоборот. Иллюстрация приведена на рисунке 1.
Погрешности, связанные с неточными данными являются неустранимыми. Остальные погрешности чаще всего можно контролировать, но применять очень точные модель, метод и вычислитель для не очень хороших данных бессмысленно, достаточно, чтобы их погрешность были немного выше (например, на пару порядков) погрешности в исходных данных.
Количественное выражение погрешности
Абсолютной погрешностью называют максимально возможное отклонение величины, полученной измерением от истинного значения. Такая характеристика не лишена недостатка: она не очень интуитивна. Например, абсолютные погрешности измерений 2.5±0.5 и 25±0.5 одинаковые, однако величина 0.5 относительно числа 25 намного менее значима, чем относительно числа 2.5. Поэтому часто используют относительную погрешность, выраженную в процентах. Для двух случаев выше относительные погрешности будут существенно (в 10 раз) различаться: 2.5±20% и 25±2%, соответственно. Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к истинному значению. Поскольку истинная величина чаще всего неизвестна, то ее часто заменяют средним значением по нескольким измерениям одной и той же величины.
Значащие и верные цифры
Значащими цифрами называют цифры от первой отличной от нуля цифры до последней цифры в числе. Например, если измеренная сила F=0.0560, то она измерена с тремя значащими цифрами (последний ноль тоже считается значащим). Верными называют цифры, для которых справедливо, что абсолютная погрешность измерения не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Если в случае выше F=0.0560±0.0002, то последний ноль не является верным, потому что 0.0002>0.0001.
Погрешности математических операций
Многие величины, такие как скорость, не удается измерить непосредственно. Тогда приходится делать два или более измерения и вычислять итоговое значение по формуле. Математические операции влияют на результирующую погрешность. В случае суммы и разности абсолютные погрешности просто суммируются. Например, если S=a+b, a=4±0.1, b=3±0.2, то S=7±0.3. В случае суммы относительная погрешность оказывается где-то между относительными погрешностями слагаемых, так что сумма является довольно безопасной операцией. В случае разности, например, если S=a-b, a=4±0.1, b=3±0.2, абсолютная погрешность будет такой же (S=1±0.3), однако относительная погрешность заметно превосходит относительные погрешности исходных величин (30% против 2.5% и 6.7%). При вычитании неточных величин нужно быть осторожнее, особенно если результат сильно приближается к нулю, потому что ошибка может вообще превзойти сам результат.
Математических операций очень много и для всех из них можно исследовать влияние на погрешность. Для этого нужно рассмотреть все значения из интервала, в который может попасть истинная величина. Разберем функцию sin(x) вблизи 0.4, где синус является монотонным, если a=0.4±0.01 (±2.5%). Достаточно в таком случае проверить только среднее и крайние значения: sin(0.39)=0.380188, sin(0.4)=0.389418 и sin(0.41)=0.398609. Поскольку sin(0.39) отстоит от sin(0.4) дальше, чем sin(0.41), для абсолютной погрешности выбирается разность sin(0.4)-sin(0.39) Получается, sin(a)=0.389418±0.009230 или sin(a)=0.389418±2.37%, то есть величина относительной погрешности некоторых операций может уменьшаться относительно аргумента.
Вместо заключения
Если в статье что-то недостаточно понятно раскрыл или интересуют какие-то другие вопросы по теме или не по теме, пишите в комментариях:)
p. s. Чтобы сразу увидеть новый материал в моем блоге в своей ленте, подписывайтесь! Буду рад комментариям, вопросам, предложениям.
Содержание класса G01 (по МПК версии 2024 года)
G01B - Измерение длины, толщины или подобных линейных размеров; измерение углов; измерение площадей; измерение неровностей поверхностей или контуров
G01C - Измерение расстояний, горизонтов или азимутов; топография; навигация; гироскопические приборы; фотограмметрия или видеограмметрия
G01D - Измерения, специально не предназначенные для особых переменных величин; устройства или приборы для измерения двух или более переменных величин, не отнесенные к какому-либо одному подклассу; устройства для передачи синалов или преобразования сигналов, специально не предназначенные для особых переменных величин; тарифные счетчики; измерения или испытания, не отнесенные к другим подклассам
G01F - Измерение объема, объемного расхода, массового расхода или уровня жидкости; измерение объема дозами
G01G - Взвешивание
G01H - Измерение механических колебаний или ультразвуковых, звуковых или инфразвуковых колебаний
G01J - Измерение интенсивности, скорости или спектрального состава, поляризации, фазы или импульсных характеристик инфракрасных, видимых или ультрафиолетовых лучей; колориметрия; радиационная пирометрия
G01K - Измерение температуры; измерение количества тепла; термочувствительные элементы, не отнесенные к другим классам
G01L - Измерение сил, механического напряжения, крутящего момента, работы, механической энергии, механического коэффициента полезного действия (КПД) или давления газообразных и жидких веществ или сыпучих материалов
G01M - Проверка статической и динамической балансировки машин или конструкций; испытания различных конструкций или устройств, не отнесенные к другим подклассам
G01N - Исследование или анализ материалов путем определения их химических или физических свойств
G01P - Измерение линейной или угловой скорости, ускорения, замедления или силы ударов (толчков); индикация наличия или отсутствия движения; индикация направления движения
G01Q - Техника сканирующего зонда или устройства; различные применения техники сканирующего зонда, например микроскопия сканирующего зонда (SPM)
G01R - Измерение электрических и магнитных величин
G01S - Радиопеленгация; радионавигация; измерение расстояния или скорости с использованием радиоволн; определение местоположения или обнаружение объектов с использованием отражения или переизлучения радиоволн; аналогичные системы с использованием других видов волн
G01T - Измерение ядерных излучений или рентгеновских лучей
G01V - Геофизика; гравитационные измерения; обнаружение скрытых масс или объектов; кабельные наконечники
G01W - Метеорология
p. s. Чтобы сразу увидеть новый материал в моем блоге в своей ленте, подписывайтесь! Буду рад комментариям, вопросам, предложениям.
