Задача: Стороны AB и BC параллелограмма ABCD соответственно равны 13 и 10. Найдите площадь этого параллелограмма, если векторы (A̅B̅ - B̅D̅) и A̅D̅ взаимно перпендикулярны.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Отложим вектор A̅D̅', равный вектору B̅D̅. Тогда D̅'B̅ = A̅B̅ - B̅D̅, и по условию D'B⟂AD (см рисунок)
Рассмотрим прямоуг. △AHD' и △DHB:
- AD' = BD (так как A̅D̅' = B̅D̅)
- ∠BDH = ∠D'AH (как накрест лежащие при пересечении BD∥BD' секущей AD)
⇒ △AHD' = △DHB по гипотенузе и острому углу ⇒ AH = DH = AD/2 = 5. В прямоуг. △AHB по теореме Пифагора BH^2 = AB^2 - AH^2; BH = 12.
SABCD = AD * BH = 10 * 12 = 120.
Ответ: 120.
Задача решена.
