Представим ситуацию, что при ремонте кухни периметром 14 метров вы закупили 10 рулонов обоев. После - потребовалось обклеить такими же обоями и другую комнату периметром 37 метров. Обязательно ли для этого знать ширину каждого рулона? Или достаточно тех данных, которые у вас есть? Давайте разбираться.
В математике существует много понятий, среди которых встречаются прямо и обратно пропорциональные величины. В чем же их разница и какое отношение они имеют к нашему вопросу?
Определение. Две величины называются ПРЯМО пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной их них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Определение. Две величины называются ОБРАТНО пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной их них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Давайте потренируемся и подумаем, все ли величины можно назвать прямо или обратно пропорциональными?
Необходимо определить, является ли прямо пропорциональной, обратно пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между величинами:
- Стоимостью товара и его количеством, купленным на определённую сумму денег; - обратно пропорциональна - чем больше цена, тем меньше товара можно купить на фиксированную сумму.
- Возрастом человека и размером его обуви; не является ни прямо пропорциональной, ни обратно пропорциональной, так как с возрастом не всегда увеличивается размер ноги.
- Объёмом куба и длиной его ребра; - не является ни прямо пропорциональной, ни обратно пропорциональной, рассмотрим на примере: если длина ребра 2 см, то объем куба = 8 см^3, если длину ребра увеличить в 2 раза: 4 см, то объем куба не будет пропорционален увеличению стороны, а станет 64 см^3, вместо 16 см^3.
- Периметром квадрата и длиной его стороны; - прямо пропорциональная зависимость, при увеличении стороны, периметр увеличивается во столько же раз.
- Дробью и её знаменателем, если числитель не изменяется; - обратная пропорциональная зависимость: чем больше знаменатель, тем меньше дробь, и наоборот
- Длиной и шириной прямоугольника фиксированной площади; обратно пропорциональны, при увеличении одной стороны, чтобы площадь не изменилась, вторая должна уменьшиться во столько же раз.
- Время горения лампочки и количество израсходованной электроэнергии? Прямо пропорциональная зависимость - чем больше горит лампочка, тем больше она расходует энергии.
Попробуйте самостоятельно обосновать следующие зависимости:
- Количество книг и количество читателей в библиотеке?
- Сторона квадрата и его площадь?
- Длина и ширина прямоугольника при данной площади?
- Вес муки и вес выпеченного из нее хлеба?
- Норма выработки и время изготовления одной детали?
- Диаметр окружности и ее длина?
- Количество волос на голове и площадь поверхности головы?
На примере решения этой задачи мы видим, что: если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
И ещё одно важное замечание: не любые две величины являются прямо или обратно пропорциональными, существуют и другие виды зависимости между величинами.
Задача №1. Пешеход, идя со скоростью 3,6 км в час, прошёл всё расстояние за 5 и 1/2 часа. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти то же расстояние, если скорость его увеличить до 6,6 км в час?
Составим пропорцию:
Прежде чем приступать к составлению пропорции необходимо понять, какая зависимость между величинами?
Зависимость обратная, поскольку при увеличении скорости время, за которое нужно пройти то же расстояние, уменьшается.
Задача №2. Для погрузки нефти нужно было 30 цистерн ёмкостью в 16,5 т каждая. Но на железной дороге оказались только большие цистерны ёмкостью в 24,75 т каждая. Сколько больших цистерн нужно взять для погрузки этой же нефти?
Зависимость обратная, чем больше вес одной цистерны, тем меньше цистерн необходимо, чтобы разместить всю нефть.
Задача №3. Мотоциклист за 1,5 ч проехал 40% всего пути. Через сколько времени ему останется проехать треть всего пути, если скорость его не изменится?
Прежде чем составлять пропорцию, найдем сколько процентов ему нужно будет пройти, чтобы осталось проехать треть всего пути:
Составим пропорцию:
Зависимость прямо пропорциональная, при увеличении расстояния при данной скорости, время увеличивается.
А теперь обсудим ту задачу, которую разбирали в самом начале. Так обязательно ли знать ширину каждого рулона, если мы уже знаем, сколько рулонов потребовалось, чтобы обклеить кухню? Конечно, нет! Ведь величины прямо пропорциональны (чем больше периметр комнаты, тем больше рулонов той же ширины понадобится - простая логика!). Значит, составим пропорцию:
Если у Вас остались вопросы, посмотрите небольшой видеоурок, как работают по этой теме ученики нашей школы.