Принцип вложенных отрезков Кантора (доказательство)

Я хотел бы разобрать "Принцип вложенных отрезков Кантора" и собственно как легко и интуитивно он доказывается.

Формулировка:

Следующие условия нам даны, а именно что в отрезок a1b1 включен отрезок a2b2, а в него в свою очередь включен отрезок a3b3 и так далее. Если говорить в общем, все отрезки находятся внутри отрезка a1b1.

Выглядит это следующим образом

Именно так выглядит система вложенных отрезков. По рисунку интуитивно понятно, что разность (bi-ai) действительно стремится к 0 при i, стремящемся к бесконечности

Так вот, из того, что нам дано следует, следующая вещь:

Существует точка "кси", которая принадлежит отрезку [ai,bi], i от 0 до n и, собственно сама i принадлежит множеству натуральных чисел. А так же, крайне важно, что точка "кси" единственная

Покажу на рисунке точку "кси":

А теперь давайте, наконец, это все дело докажем!

Так, собственно, рассмотрим множества A и B, где A - множество левых концов отрезков, а B - множество правых концов отрезков. Очевидно, что ai меньше либо равно bi (внимательно смотрим на рисунок), отсюда следует (ПО АКСИОМЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ), что существует точка "кси", такая что она лежит между ai и bi, ну а отсюда следует что "кси" принадлежит отрезку [ai,bi] , что и требовалось доказать.

Для тех кто забыл аксиому непрерывности, сделаю оговорку:

Для любых непустых множеств A,B, входящих в множество R, (для любого элемента а из множества А, для любого элемента b из множества B, а в свою очередь меньше либо равно b) ОБЯЗАТЕЛЬНО существует такая точка c из множества R, такая что для любого а из множества А, для любого b из множества B, с обязана принадлежать отрезку [a,b]

Так, первую часть теоремы мы доказали, осталось доказать, что точка "кси" единственная, дело за малым!

Воспользуемся методом доказательства от противного: Пускай существуют "кси1" , "кси2" принадлежащие отрезку [ai,bi] тогда отсюда следует что разность (bi-ai) больше либо равна модуля разности ("кси1"- "кси2") ,а это противоречит начальному условию. А значит точка "кси" у нас единственная и никак второй в приоре не существует

Внимательно смотрим на рисунок:

Думаю, видно что действительно разность (bi-ai) больше либо равна модуля разности ("кси1" - "кси2") Почему ставлю модуль??? потому что я не знаю где стоит "кси1" и "кси2", я не знаю кто из них левее, а кто правее, ПОЭТОМУ СТАВИМ МОДУЛЬ.

Все доказано! Ура! Надеюсь было понятно, интересно и полезно!