Прежде всего, мы должны ответить на вопрос, хотим ли мы услышать музыкальное произведение в том самом виде, как задумывал его автор? Если нет, то Вам лучше не читать эту статью и идти слушать тепловые шумы и дальше. Эта статья для тех, кто любит и умеет слушать музыку, кто хотя бы стремиться добиться верного звучания от той аппаратуры, до которой он может дотянуться. А чтобы тянуться в нужном направлении, я немного расширю кругозор тем, кто в молодости занимался и/или занимается важными делами, но не растратил еще природной любознательности так свойственной сухоносым гоминидам.
В перестройку, в начале 90-х годов прошлого столетия, я пытался стать радистом и учился в ЛЭТИ. С тех пор прошло очень много времени… Позабылось почти все, кроме преобразования пространств. [Зачем нам это преподавали? Радистам] А недавно я посмотрел ролик с физиком Чирцовым Александром Сергеевичем: https://youtu.be/aBA20vIZUWo И тут накатили воспоминания, вспомнилось это чувство, когда ты рядом с какой-то жутко важной тайной мироздания, и за вот тем поворотом, совсем рядом… Ох, что откроется(!) Желающим посмотреть – рекомендую.
Для простых потребителей контента я постараюсь объяснить попроще, хоть это кажется и невозможным, без формул и доказательств – просто выводы и как их применить к заявленной теме статьи.
Существует такое математическое шаманство – преобразование Фурье. Суть этого математического приема заключается в том, что любой сигнал можно разложить на сумму синусоид и косинусоид (гармонических колебаний, которые математики описывают функциями синуса и косинуса от времени). Причем, с любой точностью. Скажем то же самое, другими словами. Возможно найти множество гармонических колебаний с разной частотой и амплитудой, сумма которых, как если бы эти колебания были поданы в микшер, дадут исходный сигнал, и чем больше таких функций мы найдем, тем точнее получится наш сигнал похожим на исходный. Вот картинка, поясняющая суть метода:
Что мы видим на ней? Слева наш исходный сигнал. Это то, что мы бы увидели на осциллографе. Просто кто-то подал сигнал с генератора и сразу отключил. Пусть это будет даже идеальная синусоида, хоть это и невозможно. Допустим. Справа мы видим зависимость амплитуды колебаний от частоты, сумма которых даст вот тот самый сигнал, что слева. Тут можно заметить, что частота у математиков бывает отрицательной. Это просто упрощение того факта, что мы складываем синусоиду и косинусоиду, и в таком виде математикам приятнее смотреть на график, а тем более, брать интеграл. Справа не весь график. На самом деле, график уходит в бесконечность и в минус, и в плюс, причем, это несчетное количество функций – количество функций больше количества целых чисел – во как(!) Но, мы видим, что амплитуды этих функций уменьшаются как в минус на графике, так и в плюс. А это значит, что вклад их в нашу копию сигнала уменьшается. И с какого-то момента уже становится настолько не существенным, что можно пренебречь ими. Если бы наш входной сигнал был синусоидой, которая начиналась до Большого Баха, когда вселенная появилась и не заканчивался никогда, то преобразование Фурье выдало бы нам график из двух столбиков на +- частоте входного сигнала:
В природе такого не бывает, и даже в интернете я не сразу нашел подходящую картинку. Чем меньше сигнал похож на идеальный, тем больше вклад колебаний с другими частотами, отличающейся от исходного сигнала. Отличие может быть в том, что сигнал не похож на синусоиду (прямоугольные импульсы или треугольные), что он длится ограниченное время (музыкант бьёт по клавишам фортепьяно и работает педалькой), что он состоит из суммы многих сигналов – аккорд, например, что у нас очень плохая аппаратура. И все что угодно – все дает усложнение графика, который на первой картинке справа.
И Вы можете мне не верить, но мозг наш «слышит» не сигнал, что на первой картинке слева, а именно преобразование Фурье, которое справа. Для компьютера преобразование Фурье – серьезная задача. А для нашего уха – пара пустяков. Как же это происходит-то? В чем «волшебство» природных преобразователей Фурье?
А нет никакого волшебства. Во внутреннем ухе, в улитке есть резонаторы с высокой добротностью (максимально точно резонирующие на определенной частоте) и волосковые клетки на нервных окончаниях, которые снимают сигнал амплитуды колебаний резонаторов. Получается, что каждый резонатор и волосковая клетка измеряют вклад определенной частоты в функцию Фурье, которая описывает входной сигнал. И представляете, их около 20 тысяч штук… Это значит, что входной сигнал описывается двадцатью тысячами гармоник преобразования Фурье. Это достаточно точно? Не очень, конечно, но это все, что у нас есть. Другого уха у меня для Вас нет, как говаривал один умный человек. Понятно, что у разных людей, резонаторы настроены на немного разные частоты. Если бы мы хотели повторить природу и учитывать индивидуальные особенности восприятия каждого пользователя, то создали такой прибор по воспроизведению звука, который бы точно для каждой волосковой клетки воспроизводил колебания с нужной амплитудой после преобразования Фурье. Но, мы вставляем в колонку три динамика, и уже этому рады, правда же?
Зато инженеры и математики научились использовать преобразование Фурье для сжатия звука. Как это происходит? В самом простом случае, звук разлагается на составляющие гармоники по Фурье, потом записывается их амплитуда через определенные интервалы времени. И это значительно меньше данных, чем записывать каждую точку графика реального сигнала. Кроме того, так как амплитуда составляющих гармоник может не изменяться на протяжении многих измерений (звук гитарной струны не так уж резко затухает), то такой ряд значений уже сжатого сигнала можно дополнительно сжать алгоритмом как в обычных упаковщиках файлов. Если мы возьмем гармоник Фурье преобразования много – больше, чем волосковых клеток раза в два, и измерения будем делать чаще раза в два, а лучше в четыре, чем колебаний самого высокочастотного сигнала, то можем записать звук лучше качеством, чем может распознать ухо. Это медицинский факт. Кстати, отсюда понятно зачем усилители имеют верхний частотный диапазон 25 или даже 30 килогерц. Несмотря на то, что синусоиду такой частоты человеческое ухо и не слышит, то для верхней частоты уха человека (это где-то около 16 килогерц) вклад гармоники после преобразования Фурье все-таки существенный. И если мы хотим качественный звук, то верхняя граница усилителя должна быть существенно выше верхней границы, воспринимаемой ухом.
Продолжение следует. Попозже поговорим про искажения.
