Всё Про Графики 📈📉(6класс)

Основные сведения для шестиклассников о математических графиках

Начало

Язык цифр и функций часто становится понятнее, если его сопровождают графические рисунки. Как зависят величины между собой, что и в какой мере влияет на предмет (или явление), как развивается анализируемый процесс с течением времени либо за выбранные промежутки времени в различные годы — вот далеко не полный перечень вопросов, на которые можно ответить с помощью графика.

Что такое график в математике: определение

Назвав какое-то число, преподаватель может дать на уроке задание оценить его. Например, ученик Иванов, имеющий рост 1,2 м — высокий или низкий? Для того чтобы сделать оценку, необходимо рост этого ученика сравнить с остальными. Удобно и быстро это сделать на графике, отразив с его помощью рост всех учеников класса.

Для этого вынесем рост всех учеников в таблицу, после чего отразим значения на графике:

Кривая возрастной характеристики мальчиков одного класса позволяет быстро определить самого высокого (Сидоров) и самого низкого (Щеглов) учеников. Кроме этого, легко назвать интервал показателей роста, в котором находятся все ученики (от 1,15 м до 1,4 м).

Определение

График — это линия, наглядно отражающая характер зависимости выбранных величин друг от друга. График может быть в виде прямой линии, изогнутой, параболы, наклонной, ломаной и т. п. Именно ее вид будет определять свойство рассматриваемой функции.

На слух большое количество перечисленных цифр воспринимается трудно. Посмотрев на график, сразу можно понять, что в марте предприятием выпущено меньше всего столов. Поэтому есть смысл поискать, какие факторы повлияли на снижение производительности в этот период.

Когда при построении графика используются два значения, то линия выглядит прямой (поскольку через две точки можно провести только одну прямую линию). Когда динамический ряд содержит много (более двух) значений выбранного показателя, то график выглядит ломаной линией. Именно такой вариант разобран на примере выпуска столов. В математике существуют методики сглаживания графических прямых. Тогда графическая зависимость имеет вид плавной кривой линии. Ее разновидностью является парабола.

Если в системе координат построена только одна линия, то этот график называется простым. В ходе решения задач часто возникает необходимость сравнить графически несколько свойств. Тогда допускается построение комплексных графиков.

Например, в одной системе координат отражаются сведения по заболеваемости детей различных возрастов в течение года, или сравнивается заболеваемость какого-либо года с многолетними среднестатистическими данными.

Например, в одной системе координат отражаются сведения по заболеваемости детей различных возрастов в течение года, или сравнивается заболеваемость какого-либо года с многолетними среднестатистическими данными.

Даже не имея перед глазами конкретных цифр зарегистрированных случаев заболевания, из графика становится понятно, что самая высокая заболеваемость на протяжение года регистрируется среди детей в возрасте 3–6 лет. Также из этого графика можно сделать вывод, что во всех возрастных группах в осенний период года количество заболевших увеличивается. 

ПРИМЕЧАНИЕ

Данный пример был рассмотрен при условии, что численность детей анализируемых возрастных групп одинакова.

Виды графиков в математике

Зависимость двух функций друг от друга может иметь не только линейный вид. В заданиях для визуальной характеристики динамического ряда применяется несколько типов диаграмм. Их построение всегда происходит в выбранной системе координат, а самостоятельный выбор варианта зависит от нескольких характеристик.

Перед тем как дать перечень наиболее часто используемых графиков, необходимо понять, что такое математическая функция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функцией называется отображение значений анализируемого множества X на второе анализируемое в этот же момент общество значений Y.

Данное определение справедливо только в тех случаях, когда каждому значению X соответствует только одно значение Y.

 Рассмотрим на примерах виды наиболее часто используемых графиков:

1. Построить график функции, в основе которой лежит уравнение типа y=ax+b, где a и b — любые известные числа, а x — неизвестная переменная.

Видно, что независимо от значений, график этой функции будет линией. Поэтому такая функция называется линейной.

2. Построить график функции, в основе которой лежит уравнение типа y=ax2+bx+c

Такая функция называется квадратичной, а график имеет вид параболы. При a>0 своими ветками она направлена вверх, при а<0 — вниз:

3. Гипербола. Графики этого типа применяются, чтобы определить место нахождения чего-либо или кого-либо. Например, во время второй мировой войны применялись гиперболические навигационные системы, когда штурману в процессе работы нужно было принимать одновременно радиосигналы от двух пар бережных станций.

Уравнение функции, графиком которой является гипербола, имеет следующий вид: y=k/x. На графике ниже показана гипербола при k>0

3. Гипербола. Графики этого типа применяются, чтобы определить место нахождения чего-либо или кого-либо. Например, во время второй мировой войны применялись гиперболические навигационные системы, когда штурману в процессе работы нужно было принимать одновременно радиосигналы от двух пар бережных станций.

Уравнение функции, графиком которой является гипербола, имеет следующий вид: y=k/x. На графике ниже показана гипербола при k>0

Формулы графиков

Как было указано выше, характер графика зависит от формулы, отражающей взаимоотношения функций.

В декартовой системе координат существует две координатные прямые, которые перпендикулярны друг другу и имеют единственную точку пересечения — начало отсчета для каждой из этих прямых. На осях абсцисс (x) и координат (y) откладываются значения функций в определенный момент времени. При этом обязательным условием является пропорциональность значений и выбранного масштаба.

В предыдущем разделе рассматривалось, как выглядят графики функций с различными уравнениями. При этом существует ряд нюансов:

1. График линейной функции с уравнением y=ax+b.

При a>0, прямая линия находится в I и III координатных четвертях. При этом точка b является точкой пересечения графика с осью Y.

Если a<0, прямая линия находится в II и IV координатных четвертях. Однако по-прежнему точка b является точкой пересечения графика с осью Y.

Бывает вариант, когда a=0. Тогда вид графика следующий:

График является параболой с уравнением y=ax2+bx+c.

Определим, как меняется форма параболы в зависимости от коэффициентов: a, b, c.

Если a>0, своими ветвями парабола направлена вверх, если a<0 — то вниз (рисунок был приведен выше).

С помощью b определяют место нахождения (координату) вершины параболы:

Коэффициент c показывает точку, в которой произойдет пересечение параболой оси y.

Имеет также значение, каков дискриминант — D:

• при положительном значении D график пересекает ось координат в двух точках;
• при отрицательном D — не имеет этих точек пересечения;
• при D=0 имеет одну точку пересечения.