Задача: Боковые стороны треугольника равны a и b, а его основание — c. Окружность проходит через вершины основания и вторично пересекает боковые стороны в точках M и K. Найдите длину отрезка MK, если известно, что он касается вписанной в треугольник окружности.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть BC = a, AC = b и AB = c. По св-у касательных к окружности, вписанной в угол, касательная, проходящая между между данной окружностью и вершиной угла, отсекает треугольник, периметр которого равен сумме отрезков касательных, проведённых из вершины угла к окружности ⇒
⇒ P△CMK = CP + CL. По теореме об отрезках касательных CP = CL = (AC + BC - AB)/2 = (a + b - c)/2 ⇒ P△CMK = CP + CL = (a + b - c)/2 + (a + b - c)/2 = (a + b - c).
Рассмотрим △CMK и △CAB:
- ∠ACB - общий
- ∠BAC = ∠CMK (так как ABMK - вписанный четырёхугольник ∠BMK = 180° - ∠BAC, ∠CMK = 180° - ∠BMK = 180° - (180° - ∠BAC) = ∠BAC)
⇒△CMK ~ △CAB по I признаку подобия треугольников ⇒ MK/AB = k; MK = AB * k = c * k, где k - коэффициент подобия треугольников. Найдём коэффициент подобия k через периметры треугольников:
k = P△CMK/P△ABC = (a + b - c)/(a + b + c)
⇒ MK = c * k = c * (a + b - c)/(a + b + c).
Ответ: c * (a + b - c)/(a + b + c).
Задача решена.