Задача: Хорда AB разбивает окружность на два сегмента. В меньший из сегментов вписали вторую окружность, касающуюся хорды АВ в середине. На дуге большего сегмента взяли такую точку C, что вписанная окружность треугольника ABC равна второй окружности. Найдите периметр треугольника ABC, если AB = 2.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме об отрезке касательных CL = CP, AK = AL и BK = BP. Заметим, что AK + BK = 2 ⇒ AL + BP = 2. P△ABC = AB + BC + AC = AK + BK + BP + CP + AL + CL = = (AK + BK) + (AL + BP) + (CL + CP) = 4 + CL + CP.
Проведём хорду CN. Поскольку ∠ACB опирается да дугу ︶ANB, а точка N - делит данную дугу пополам, то CN - биссектриса ∠ACB ⇒ CN проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.
Из центра окружности, вписанной в треугольник, проведём радиус OL, обозначим данный радиус за r. Также проведём хорду большей окружности BN и хорду MN, которая является диаметром данной окружности и перпендикулярна касательной AB. Поскольку малые окружности равны, то и их радиусы соответственно равны ⇒ MN = 2r (см рисунок)
Рассмотрим прямоуг. △CLO и △BMN:
- ∠LCO = ∠MBO (так как опираются на одну и ту же дугу)
⇒ △CLO ~ △BMN по I признаку подобия треугольников ⇒ CL/BM = OL/MN; CL = BM * OL/MN = 1 * r/2r = 0,5.
Итак, P△ABC = 4 + CL + CP = 4 + 0,5+ 0,5 = 5.
Ответ: 5.
Задача решена.