Задача: В окружности радиуса 7 провели три равные хорды так, что каждая делится двумя другими на три равные части. Найдите длины этих хорд.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим равные отрезки, на которые делятся хорды, за a. Поскольку △MNK - равносторонний, то каждый его угол равен 60°. Проведём хорду CD. Рассмотрим △MNK и △MCD:
- ∠CMD - общий
- MN/CM = MK/DM = 1/2
⇒ △MNK ~ △MCD по II признаку подобия треугольников ⇒ △MCD - равносторонний со стороной 2a и по св-у равностороннего треугольника ∠FCD = 60°. Проведём хорду FD (см рисунок)
Рассмотрим △FCD: по теореме косинусов DF = √(CF^2 + CD^2 - 2 * CF * CD * cos 60°) = √(9a^2 + 4a^2 - 2 * 3a * 2a * 1/2) = √(13a^2 - 6a^2) = √(7a^2) = a√7. По теореме синусов для хорд DF/2sin(∠FCD) = r ⇒
a√7/2sin(60°) = 7
a√7/(2 * √3/2) = 7
a√7/√3 = 7
a = 7√3/√7
a = √21
Длина каждой их хорд составляет 3a, то есть 3√21.
Ответ: 3√21.
Задача решена.
