Земной шар и мышка.

Земной шар и мышка

Есть в математике задачки , ответы на которые кажутся невероятными , противоречащими нашему повседневному опыту . Одна из них про земной шар и мышь. В Дзене она часто встречается , но как правило без решения , сразу с готовым ответом. Так что давайте ее разберем подробно .

Итак , условие : Считаем Землю идеальным шаром ( хотя в действительности это совсем не так ) , но мы же просто так считаем для удобства . Длина окружности по экватору - 40 000 км . По этой окружности проложена нить , вплотную к поверхности , абсолютно нерастяжимая , толщиной , ну предположим 1 мм . То есть ее длина 40 000 км. В любом месте эта нить разрезается и в разрез добавляется такая же нить длиной 1 метр , то есть ее длина становится 40 000 001 метр . Вся появившееся слабина равномерно распределяется на всю длину . То есть получается ,что нить не в плотную прилегает к поверхности земли , а на некотором расстоянии от нее .

Вопрос : пролезет ли под этой ниткой мышь высотой 3 см ?

На первый взгляд что такое 1 метр на длину 40 000 км? Наш жизненный опыт говорит , что может и появится зазор , ну уж не более какой ни будь доли мм. Так ли это на самом деле ? Совсем не так . Давайте рассуждать . Радиус окружности длиной 40 000 000 метров ( перейдем от км к метрам) L= 2 π R .

Радиус окружности длиной 40 000 001 метр L1 = 2 π R1 . Нас интересует разность R1 - R ( очевидно , что радиус окружности с большей длиной будет больше ) и эта разность даст нам ответ на вопрос больше она 3 см или меньше , то есть пролезет мышь или нет. Итак , R1-R = L1/2 π - L/2 π , поскольку L1 = L+1 , подставляем в уравнение , приводим к общему знаменателю , и..... барабанная дробь +L и -L сокращаются , уравнение принимает вид R1-R =1/2π . Вывод парадоксальный на первый взгляд , результат не зависит от размера окружности . Не имеет значения длина окружности 1 метр или 40 000 км .

Ну а что с нашей мышкой . Считаем R1-R = 100 см / 2 / 3,14159265 = 15,96 см . В такую щель пролезет не одна мышь а 5 вставших друг на друга.

Так что добавив всего 1 метр к 40 000 км мы увеличим радиус на почти 16 см. Вот такая неочевидность вроде бы из простой задачки .