Задача: В ромб ABCD вписана окружность, касающаяся стороны AD в точке M. Отрезок СМ пересекает данную окружность в точке N. Известно, что CN = 1, MN = 2. Найдите меньшую диагональ ромба.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме о квадрате касательной CK^2 = CN * CM ⇒ CK = √3. Проведём радиусы OM и OK. По св-у касательной OM⟂AD и OK⟂BC, однако поскольку AD∥BC (по св-у ромба), то OM и OK лежат на одной прямой ⇒ MK - диаметр (см рисунок)
Рассмотрим прямоуг. △CKM: по теореме Пифагора MK^2 = CM^2 - CK^2; MK = √6. Проведём диагонали AC и BD. Поскольку диагонали ромба - биссектрисы углов, то они пересекутся в центре вписанной окружности под прямым углом, а также по св-у ромба точкой пересечения поделятся пополам (см рисунок)
OK = MK/2 = √6/2. В прямоуг. △OKC: по теореме пифагора OC^2 = OK^2 + CK^2; OC = 3√2/2. Рассмотрим △CKO и △OKB:
- ∠KCO = ∠BOK (так как ∠KOC = 90° - ∠KCO, а ∠BOK = 90° - ∠KOC = 90° - 90° + ∠KCO = ∠KCO)
- ∠KOC = ∠OBK (так как ∠BOK = 90° - ∠KOC, а ∠OBK = 90° - ∠BOK = 90° - 90° + ∠KOC = ∠KOC)
⇒△CKO ~ △OKB по I признаку подобия треугольников ⇒ BO/OC = OK/CK; BO = OC * OK/CK = 3√2/2 * (√6/2)/√3 = 3√12/4√3 = 6√3/4√3 = 3/2.
BD = 2 * BO = 2 * 3/2 = 3.
Ответ: 3.
Задача решена.