Задача: Окружность, вписанная в треугольник, делит его медиану на три равные части. Найдите отношение сторон треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим равные отрезки BK, NK, MN за x. По теореме о квадрате отрезка касательной BP = BL = √(BK * BN) = √(2x^2) = x√2. По этой же теореме MQ = √(MN * MK) = √(2x^2) = x√2. По теореме об отрезках касательных, выходящих из одной точки, CQ = CL. Тогда поскольку CM = CQ + MQ и BC = CL + BL, а MQ = BL = x√2 и CQ = CL, то CM = BC.
Обозначим равные отрезки AM, CM и BC за a. По теореме об отрезках касательных AQ = AP ⇒ AP = a + x√2. Тогда AB = a + 2x√2.
Итак, нам известны все стороны треугольника и медиана BM: AB = a + 2x√2, BC = a, AC = 2a и BM = 3x. Выразим BM через формулу медианы:
BM = √(2AB^2 + 2BC^2 - AC^2)/2
3x = √(2(a + 2x√2)^2 + 2a^2 - 4a^2)/2
6x = √(2a^2 + 8ax√2 + 16x^2 + 2a^2 - 4a^2)
6x = √(16x^2 + 8ax√2)
36x^2 = 16x^2 + 8ax√2
20x^2 - 8ax√2 = 0 | :4
x(5x - 2a√2) = 0 | (x > 0 поэтому не рассматриваем x = 0)
5x - 2a√2 = 0
a = 5x/2√2
a = 5x√2/4
Тогда, AB = a + 2x√2 = 5x√2/4 + 2x√2 = 13x√2/4, BC = a = 5x√2/4 и AC = 2a = 2 * 5x√2/4 = 10x√2/4 ⇒ AB : BC : AC = 13x√2/4 : 5x√2/4 : 10x√2/4 = 13 : 5 : 10.
Ответ: 13 : 5 : 10.
Задача решена.