Содержание:
Зададимся вопросом: а можем ли мы теперь, зная операторы и вектора состояний для температуры с давлением, находить «перекрестные» вероятности? То есть, например, можно ли найти вероятность того, что кот имеет давление Pi если мы измерили только температуру tj? Или наоборот: если мы измерили давление Pi, то какова вероятность, что температура этого кота равна tj?
Дальше, чтобы не путаться, будем вероятность обозначать буквой W. Мы знаем вероятность W(ti) того, что кот жив при температуре ti если давление нас не интересует. Эту вероятность мы находили как отношение живых котов при данной температуре к общему числу котов при этой температуре:
Мы также находили сумму всех этих вероятностей, которая равна полной вероятности того, что кот будет найден живым при любой из пяти возможных температур:
Можно, кстати, заметить, что полная вероятность одновременно является и средней вероятностью. Действительно, мы складываем все известные вероятности и делим полученную сумму на число слагаемых. В точности так мы ищем любые средние величины!
При переходе от вероятности к вектору состояний мы получали формулу:
Каждый компонент вектора состояний – это квадратный корень из соответствующей вероятности W(ti). Очевидно поэтому, что если известен весь вектор состояния, то должен быть способ найти и любую вероятность. Как эту формулу записать математически?
В наших примерах вектор состояния для температур:
Какую формулу мы должны применить, чтобы из этого столбца получить, например, вероятность W(t3)=W(20) (вероятность того, что кот живой при температуре 20 градусов)?
Выделить из вектора одну из его координат (каждый элемент в столбце – это координата вектора), можно с помощью скалярного произведения:
Если возвести полученное число в квадрат, то получим нужную нам вероятность:
Единичные вектора, на которые мы умножаем здесь вектор состояний, называются «базисными векторами». Вектор можно записать как сумму, в которой каждая «координата» умножается на базисный вектор:
Для нашего примера это «разложение вектора по базису» выглядит следующим образом:
Точно так же можно вытащить из другого вектора состояний любую одну вероятность для давления:
Теперь шанс того, что кот в ящике окажется одновременно живым с температурой ti и давлением Pj легко находится как вероятность:
Заметим, что все возможные вероятности можно объединить в одну квадратную матрицу. Однако мы извлечем сначала квадратный корень из вероятностей и составим матрицу из этих корней:
Такую матрицу называют «тензорное произведение» или еще "внешнее произведение", а в некоторых случаях она является "матрицей перехода". Можно с нашими данными записать ее коротко:
Если поменять вектора местами, то получим транспонированную матрицу тензорного произведения.
Внешнее произведение - это произведение столбца на строку, а не наоборот. Случай "наоборот", умножение строки на столбец - это "скалярное произведение". Из названий понятно, что тензорное произведение дает в результате тензор (у нас это матрица), а скалярное произведение дает число (скаляр).
Попробуем получить среднее значение давления у живого кота Шредингера. Для этого запишем сначала использовавшуюся ранее формулу, а потом заменим в этой формуле вектора состояний с помощью матрицы тензорного произведения:
Как видно, у нас теперь есть возможность узнать среднее давление с помощью вектора состояний, который характеризует температуру!
Получается, что вектора состояний температуры и давления связаны друг с другом. Это логично, ведь тот и другой вектор характеризуют одного и того же кота.
Чтобы использовать вектор температуры для определения давления, надо оператор давления преобразовать. Это преобразование называется «переходом к другому представлению». В данном случае нужно оператор давления перевести из собственного в температурное представление:
Аналогично можно получить оператор температуры в представлении давления. Для этого посмотрим, как будет искаться средняя температура:
То есть оператор температуры в представлении давления имеет вид:
С помощью этого оператора мы можем искать среднюю температуру используя вектора состояний, которые характеризуют давление.
Предыдущая статья: Оператор физической величины