Все мы в школе учили признаки равенства треугольников. Давайте вспомним их.
Для произвольных треугольников есть три основных признака.
Первый - "по трем сторонам".
Второй - "по двум сторонам и углу между ними".
Третий - "по стороне и двум прилегающим углам".
Для прямоугольных треугольников есть еще два дополнительных признака, не совсем совпадающих с тремя предыдущими: "по катету и гипотенузе" и "по гипотенузе и острому углу".
Общим для всех перечисленных признаков является достаточность наличия равенства всего трёх параметров треугольника. Есть, правда, одна тонкость - равные однотипные элементы (стороны или углы) произвольного треугольника должны примыкать (прилегать) к третьему равному элементу, например, две стороны к одному углу, или два угла к одной стороне, или две стороны к третьей.
Но для прямоугольных треугольников, как мы видим, это не обязательно. Например, в признаке "по катету и гипотенузе" прямой угол, априори одинаковый для обоих треугольников, не лежит между указанными равными сторонами.
Возникает вопрос, а почему тогда такой же признак "не проходит" для произвольных треугольников? Ведь кажется, что информация о прямоугольности треугольников в данном случае означает лишь то, что у них есть тот самый требуемый третий равный параметр - прямой угол. И этот угол не находится между равными сторонами (гипотенузой и катетом), а прилегает только к катету.
Чем же таким таинственным отличается угол в 90 градусов от, например, угла в 90,1 градуса? Почему для угла 90 градусов срабатывает признак - по двум сторонам (гипотенузе и катету) и углу, прилегающему только к одной из этих сторон, а для 90,1 градуса не работает? Или всё-таки работает? Над этим вопросом предлагаю подумать самим, а здесь хочется рассмотреть несколько другую задачу.
Давайте попробуем якобы "ужесточить" признак равенства треугольников и потребуем, чтобы кроме двух равных сторон еще были равны не один, а ВСЕ углы. То есть, взамен требования равенства того самого одного угла между равными сторонами потребуем равенства всех трех углов. Правда, будем считать, что мы не знаем, как распределены эти углы в треугольниках. Поможет ли такое "ужесточение" появлению на свет еще одного "нового" признака равенства треугольников?
Похожий вопрос был задан в одном из выпусков канала "Про математику и жизнь" ( https://dzen.ru/id/5e5fdcedc7f1bf582e1fd22c ) , на котором публикуются интересные математические задачи вперемешку с развивающей информацией. Достоинством канала я считаю компактность подачи материала и разумную сложность предлагаемых заданий. В самый раз, чтобы встряхнуться, узнать что-то новое, но при этом не израсходовать последние силы и время.
Итак, в одном из заданий публикации прозвучал вопрос "Будут ли равны два треугольника, если у них три угла и две стороны равны?"
Эта хорошая задача, наверняка, кому-то известна. Автор в очередном выпуске, конечно, дал к ней ответ, но я "для интриги" не буду здесь его приводить. Скажу лишь, что пока я искал решение, у меня в голове родился модифицированный вариант этой задачи. Он тоже в чём-то интересен. Предлагаю подумать и над ним.
Имеются три пары треугольников, про которые известно, что у них в каждой отдельной паре равны по три угла и, как минимум, по две стороны. Дополнительно дано, что в первой, второй и третьей парах треугольников известные длины равных сторон составляют:
1-я пара - 8 и 6 сантиметров;
2-я пара - 8 и 8 сантиметров;
3-я пара - 8 и 13 сантиметров.
Требуется для каждой пары треугольников выбрать из трех утверждений, представленных ниже, то, которое является для неё верным:
а) треугольники равны;
б) треугольники не равны;
в) данных задачи недостаточно для выводов о равенстве/неравенстве треугольников.