Задача: Окружность проходит через три вершины параллелограмма и делит две его стороны в отношениях 1 : 3 и 4 : 5, считая от общей вершины. Найдите косинус острого угла параллелограмма.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим ∠BAD за α, тогда по св-у параллелограмма ∠BCD = α. Проведём хорду DM. По св-у вписанного четырёхугольника его противоположные углы в сумме составляют 180°, тогда поскольку ABMD - вписанный четырёхугольник, то ∠BMD = 180° - ∠BAD = 180° - α ⇒ ∠CMD = 180° - (180° - α) = α ⇒ △СDM - равнобедренный (см рисунок)
По теореме о произведении отрезков секущих CM * BC = CN * CD ⇒
4x^2 = 36y^2 | :4
x^2 - 9y^2 = 0
(x - 3y)(x + 3y) = 0 | (x>0 и y>0 поэтому не рассматриваем x + 3y = 0)
x - 3y = 0
x = 3y
CM = x = 3y. Рассмотрим △СDM: по выражению косинуса через стороны треугольника cos α = (9y^2 + 81y^2 - 81y^2)/(2 * 3y * 9y) = (9y^2)/(54y^2) = 1/6.
Ответ: 1/6.
Задача решена.