Предел последовательности - начало матана

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,

записывают с помощью обозначения

и произносят так: «Предел an   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

То же самое соотношение можно записать следующим образом:

an → a при n → ∞

Словами это произносится так: «an   стремится к   a   при   n , стремящемся к бесконечности».

ЗАМЕЧАНИЕ. Если для последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

найдется такое число   a ,   что   an → a   при , то эта последовательность ограничена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что последовательность

a1 ,  a2 , … an , …

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a1 ,  a2 , … an , … ,

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

 при .

ПРИМЕР 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

ПРИМЕР 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

ПРИМЕР 3. Для любого числа   a   такого, что | a | < 1,   справедливо равенство

ПРИМЕР 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

ПРИМЕР 5 . Последовательность

– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

заданная с помощью формулы общего члена

an = (– 1)n ,

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,   и   b1 ,  b2 , … bn , … .

Если при существуют такие числа   a   и   b ,  что

  и   ,

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

причем

Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию

b1 ,  b2 , … bn , … ,

знаменатель которой равен   q .

Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

Sn = b1 + b2 + … + bn , n = 1, 2, 3, …

справедлива формула

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

S = b1 + b2 + … + bn + … ,

то будет справедлива формула

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

| q | < 1 ,

поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

Итак,

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

ПРИМЕР 6. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и сокращая дробь, получаем

Используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3, находим

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби:

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

ОТВЕТ.

В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 9. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

ОТВЕТ.

ПРИМЕР 10. Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

,

получаем

Итак,

ОТВЕТ.   1 .

Число e. Второй замечательный предел

Рассмотрим последовательность

(1)

В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

Таким образом, справедливо равенство

(2)

причем расчеты показывают, что число

e = 2,718281828459045…

и является иррациональным и трансцендентным числом.

Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

y = e x,

которую называют «экспонента».

Число   e   также является пределом последовательности

e =

(3)

что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.