Задача: Точка P удалена на расстояние, равное 7, от центра окружности радиуса 11. Через точку P проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой P. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Поскольку расстояние от центра окружности до точки P равно 7, а радиус той же окружности равен 11, то точка P лежит в окружности. Тогда по св-у степени точки внутри окружности AP * BP = R^2 - OP^2 = 11^2 - 7^2 = 72. Тогда запишем и решим систему уравнений: AP * BP = 72 AP + BP = 18 ⇒ AP = 18 - BP ⇒ BP(18 - BP) = 72 18 * BP - BP^2 - 72 = 0 | * (-1) BP^2 - 18*BP + 72 = 0 BP^2 - 6BP- 12BP + 72 = 0 BP(BP - 6) - 12(BP - 6) = 0 (BP - 6)(BP - 12) = 0 BP = 6 v BP = 12 ⇒ AP = 12 v AP = 12. Получается точка P делит хорду AB на отрезки, равные 6 и 12. Ответ: 6 и 12. Задача решена.
Задача: Точка P удалена на расстояние, равное 7, от центра окружности радиуса 11. Через точку P проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой P.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Поскольку расстояние от центра окружности до точки P равно 7, а радиус той же окружности равен 11, то точка P лежит в окружности. Тогда по св-у степени точки внутри окружности AP * BP = R^2 - OP^2 = 11^2 - 7^2 = 72. Тогда запишем и решим систему уравнений:
AP * BP = 72
AP + BP = 18 ⇒ AP = 18 - BP
⇒ BP(18 - BP) = 72
18 * BP - BP^2 - 72 = 0 | * (-1)
BP^2 - 18*BP + 72 = 0
BP^2 - 6BP- 12BP + 72 = 0
BP(BP - 6) - 12(BP - 6) = 0
(BP - 6)(BP - 12) = 0
BP = 6 v BP = 12
⇒ AP = 12 v AP = 12. Получается точка P делит хорду AB на отрезки, равные 6 и 12.
Ответ: 6 и 12.
Задача решена.