Задача: Окружность, проходящая через вершины A и C треугольника ABC, пересекает его стороны AB и BC соответственно в точках M и K. Известно, что AM : BM = 3 : 1, BK : CK = 1 : 8. Найдите AK : CM.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть BM = x и BK = y, тогда AM = 3x и CK = 8y. Рассмотрим △ABK и △CBM:
- ∠B - общий
- ∠BAK = ∠BCM (поскольку опираются на одну и ту же дугу)
⇒ △ABK ~ △CBM по I признаку подобия треугольников ⇒ AK/CM = BK/BM = AB/CB; AK/CM = y/x = 4x/9y. Рассмотрим равенство y/x = 4x/9y:
y/x = 4x/9y
9y^2 = 4x^2
9y^2 - 4x^2 = 0
(3y - 2x)(3y + 2x) = 0 | (x>0 и y>0, поэтому не рассматриваем случай 3y + 2x = 0)
3y - 2x = 0
3y = 2x
y = 2x/3
Итак, подставим значение y в AK/CM = y/x:
AK : CM = (2x/3) : x
AK : CM = 2 : 3
Ответ: 2 : 3.
Задача решена.
