Задача: Окружность проходит через три вершины А, В и С параллелограмма ABCD и содержит его внутри себя. Продолжение диагонали ВD пересекает эту окружность в точке Е. Найдите длину отрезка DE, если диагонали параллелограмма равны 4 и 6.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Для того чтобы окружность проходила через 3 вершины А, В и С параллелограмма ABCD и полностью содержала его внутри себя, центр вписанной окружности должен находится вне треугольника △ABC ⇒ ∠B должен быть тупым ⇒ AC - большая диагональ, равная 6, а BD - меньшая, равная 4.
Тогда по св-у параллелограмма BO = OD = 2; AO = OC = 3. (см. рисунок)
По теореме о произведении отрезков хорд AO * OC = BO * OE ⇒
2(DE + 2) = 9
DE + 2 = 4,5
DE = 2,5
Ответ: 2,5.
Задача решена.
