В предыдущей статье про производные я писала, что эти темы неразрывно связаны и что одно без другого не пляшет. А вот почему.
Как правило, у математических операций есть им обратные. И производная не исключение.
Первообразная и неопределенный интеграл
Так вот первообразная - это можно сказать обратная к производной.
Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y=f(x). Функции вида y=F(x)+C образуют множество первообразных функции y=f(x). C- это константа.
Множество всех первообразных - это и есть неопределенный интеграл.
Он записывается в виде ∫f(x)dx, где f(x) - подынтегральная функция, а dx указывает по какой переменной производится интегрирование.
Решение неопределённого интеграла добавляет произвольную константу C, так как для любой постоянной C производная константы равна нулю, и такое добавление не влияет на производную функции.
Пример: ∫2xdx=x^2+C, где C- произвольная константа.
Определенный интеграл
Определённый интеграл - это математическое понятие, которое измеряет алгебраическую площадь под кривой функции в заданном интервале.
Процесс нахождения определённого интеграла называется интегрированием. Геометрически, это представляет собой нахождение площади под кривой графика функции между двумя заданными точками. Данную фигуру называют криволинейная трапеция.
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница говорит нам о том, как связаны два важных математических процесса: дифференцирование и интегрирование.
Представьте, у вас есть функция f(x). Если у этой функции есть производная, мы можем интегрировать эту функцию от одной точки a до другой точки b. Результат этого интеграла равен разнице между значениями соответствующей первообразной функции в точках b и a.
Формула выглядит так:
Ну вот если кратко и просто, то как-то так.
Конечно , сфера применения производных и интегралов очень обширна. На профильных факультетах это изучается ни один год.
Пишите в комментариях разбор каких тем вы бы хотели видеть.
Всем хорошего дня и с наступающим!☃️
