Задача: Через точку M на основании AC треугольника ABC провели прямые, параллельные двум другим его сторонам и пересекающие стороны AB и BC соответственно в точках P и Q. Отрезки AQ и CP пересекаются в точке O. В каком отношении прямая BO делит сторону AC, если AM = a, CM = b?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим ∠BAC: поскольку PM∥BC, AM = a и CM = b, то по теореме о пропорциональных отрезках AP/BP = a/b. Рассмотрим ∠ACB: поскольку AB∥MQ, AM = a и CM = b, то по теореме о пропорциональных отрезках BQ/CQ = a/b. Рассмотрим △ABC: по теореме Чевы AP/BP * BQ/CQ * CN/AN = 1 ⇒
a/b * a/b * CN/AN = 1
CN/AN * (a^2)/(b^2) = 1
CN/AN = (b^2)/(a^2)
⇒ AN : CN = a^2 : b^2.
Ответ: a^2 : b^2.
Задача решена.